Potenz von Matrizensummen

Question

Was ist die Theorie hinter dem folgenden Ausdruck, wobei A + B quadratische Matrizen nxn darstellt?

Ich weiß, wie es in der Algebra gemacht wird, aber wie komme ich zu diesem Ausdruck? Offensichtlich gilt der Binomialsatz nicht.

Answer 1

Matrizen sind in Bezug auf die Multiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ. Daher muss die Multiplikationsreihenfolge beibehalten werden, wenn die Potenzen von Matrizensummen erweitert werden.

$(A+B)^3$ ist wirklich $(A+B)(A+B)(A+B)$und die Erweiterung wird bestimmt, indem aus jedem Faktor ein Term ausgewählt und in der richtigen Reihenfolge kombiniert wird .

Answer 2

Es ist das Verteilungsgesetz, das eine ganze Reihe von Malen angewendet wird. Um zur zweiten Potenz aufzusteigen und alle Schritte aufzuschreiben:

$$(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = AA + AB + BA + BB$$

Da kann man nicht ersetzen $BA$ mit $AB$ Für Matrizen (im Allgemeinen) ist dies so weit wie möglich mit der Vereinfachung, außer für das Sammeln von Läufen derselben Matrix wie eine Potenz (z $AA = A^2$). Können Sie sehen, wie dies funktionieren würde, wenn Sie mit multiplizieren$(A+B)$ ein Mal noch?