Potenzial für $A\,\nabla V$

Question

Lassen $V:\mathbb R^n\to \mathbb R$ glatt, lassen $A$ invertierbare reale Dimensionsmatrix $n\times n$. Betrachten Sie das folgende Vektorfeld$F:\mathbb R^n\to\mathbb R^ n$, $$ F(x) \equiv A\,\nabla V(x) \,.$$ Ist es möglich, eine Bedingung zu bestimmen $A$ so dass $F$ hat ein Potenzial, nämlich existiert $U:\mathbb R^n\to \mathbb R$ so dass $$ \nabla U(x) = F(x) \;\;?$$ Insbesondere interessiert mich der Fall $A$ diagonale Matrix.

Answer 1

Dies ist selbst im diagonalen Fall hilflos falsch. Hier sind zwei Beispiele (im Anschluss an meine Kommentare).

(1) Nehmen $V(x,y)=\frac12(x^2+y^2)$ und $A=\begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}$. Dann$$A\nabla V = \begin{bmatrix} 0 & -1\\1& 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -y\\x\end{bmatrix}$$ ist nicht konservativ.

Beachten Sie jedoch, dass, wenn wir bei der Rotationsmatrix bleiben und nehmen $V$ also harmonisch sein $A\nabla V$ wird wieder locken haben $0$. Zum Beispiel mit$V(x,y)=\frac12(x^2-y^2)$, wir bekommen $A\nabla V = \begin{bmatrix} y\\x \end{bmatrix} = \nabla(xy)$. Kein Zufall, dass wir hier das harmonische Konjugat erhalten.

(2) Nehmen $V(x,y) = xy$ und $A=\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & b\end{bmatrix}$. Dann$$A\nabla V = \begin{bmatrix} a & 0\\ 0 & b \end{bmatrix}\begin{bmatrix} y\\x\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ay\\bx\end{bmatrix}$$ ist nicht konservativ, es sei denn $a=b$.