Problem beim Finden des normalen Bündels

Question

Betrachten Sie die quadratische Hyperfläche $C=V(x_0x_3+x_1x_4+x_2x_5)\subset\mathbb{P}^5$. Es ist offensichtlich$C$ enthält zwei $\mathbb{P}^2$ist durch die Gleichung gegeben $\mathbb{P}^2_a=V(x_3,x_4,x_5)$ und $\mathbb{P}^2_b=V(x_0,x_1,x_2)$.

Ich möchte das normale Bundle berechnen $\mathcal{N}_{\mathbb{P}^2_a\mid C}$Also dachte ich, ich könnte die Sequenz verwenden

$$\mathcal{N}_{\mathbb{P}^2_a\mid Y}\to \mathcal{N}_{\mathbb{P}^2_a\mid C} \to \mathcal{N}_{Y\mid C}|_{\mathbb{P}^2_a}$$

wo $Y$ ist eine Vielzahl von $C$ enthält $\mathbb{P}^2_a$. Das Problem ist, dass ich keine geeignete Subvarietät finden kann, und ich stecke ziemlich fest, da ich nicht viel darüber weiß, wie man das normale Bündel außerhalb dieser Formel berechnet (und das für den Fall einer Hyperebene). Danke im Voraus!

Answer 1

Sie haben Einbettungen $ \mathbb{P}^2 \to C \to \mathbb{P}^5 $ die zusammen eine Standardeinbettung von ergeben $\mathbb{P}^2 \to \mathbb{P}^5$ Welches ist das Verschwinden von Koordinatenfunktionen: $V(x_3, x_4, x_5)$ wo $\mathbb{P}^5 = \mathrm{Proj}(k[x_0, \dots, x_5])$. Lassen$Z = V(x_3, x_4, x_5) = \mathbb{P}^2$.

Da alles regelmäßig ist (und somit die geschlossenen Eintauchungen regelmäßige Eintauchungen sind), sind alle normalen Garben Vektorbündel (endlich lokal frei) und es gibt eine kurze exakte Sequenz. $$ 0 \to \mathcal{N}_{Z/C} \to \mathcal{N}_{Z/\mathbb{P}^5} \to (\mathcal{N}_{C/\mathbb{P}^5})|_{Z} \to 0 $$wir sollten diese Begriffe berechnen. Erstens seit$C$ ist ein Grad zwei Hyperfläche seine Garbe von Idealen ist $\mathcal{I} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-2)$ explizit gibt es eine genaue Reihenfolge, $$ 0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-2) \xrightarrow{F} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5} \to \mathcal{O}_{C} \to 0 $$ wo $F = x_0 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_5$. Deshalb,$$ \mathcal{C}_{C/\mathbb{P}^5} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-2) \otimes \mathcal{O}_{C} = \mathcal{O}_C(-2) $$ so ist das normale Bündel, $$ \mathcal{N}_{C/\mathbb{P}^5} = \mathcal{C}_{C/ \mathbb{P}^5}^\vee = \mathcal{O}_C(2) $$ Darüber hinaus seit $\mathcal{O}_C(2)$ ist der Rückzug von $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(2)$ unter $C \to \mathbb{P}^5$ und $Z \to C \to \mathbb{P}^5$ ist ein Grad eins Hyperebene Einbettung so $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(2)|_{Z} = \mathcal{O}_Z(2)$ und somit, $$ (\mathcal{N}_{C/\mathbb{P}^5})|_{Z} = \mathcal{O}_Z(2) $$

Als nächstes zu berechnen $\mathcal{N}_{Z/\mathbb{P}^5}$ Wir können den Kozul-Komplex für das Ideal verwenden $\mathcal{I} = (x_3, x_4, x_5) $, $$ 0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-3) \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-2)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5}(-1)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^5} \to \mathcal{O}_Z \to 0 $$ dann zurückziehen zu $Z$ gibt eine rechtsgenaue Reihenfolge an, $$ \mathcal{O}_{Z}(-2)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{Z}(-1)^{\oplus 3} \to \mathcal{C}_{Z/\mathbb{P}^5} \to 0 $$ aber die Koordinatenfunktionen verschwinden weiter $Z$ Die erste Karte ist also null. $$ \mathcal{N}_{Z/\mathbb{P}^5} = \mathcal{C}_{Z/\mathbb{P}^5}^\vee = \mathcal{O}_Z(1)^{\oplus 3} $$ Deshalb haben wir eine genaue Reihenfolge, $$ 0 \to \mathcal{N}_{Z/C} \to \mathcal{O}_Z(1)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_Z(2) \to 0 $$ Vergleichen Sie dies mit der Euler-Sequenz, $$ 0 \to \Omega_{\mathbb{P}^2} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(-1)^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2} \to 0 $$

Beachten Sie, dass Karten $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ werden durch Drillinge von Abschnitten klassifiziert, $$\mathrm{Hom}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}^{\oplus 3}, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)) = \Gamma(\mathbb{P}^2, \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1))^{\oplus 3}$$ welche sind $ 3 \times 3 $Matrizen mit surjektiven Karten, die nicht singulären Matrizen entsprechen. Daher für jedes Paar surjektiver Karten$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}^{\oplus 3} \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}(1)$ es gibt einen Automorphismus von $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2}^{\oplus 3}$ kompatibel mit ihnen, so dass es ein Diagramm gibt, $\require{AMScd}$ \ begin {CD} 0 @ >>> \ mathcal {N} _ {Z / C} @ >>> \ mathcal {O} _Z (1) ^ {\ oplus 3} @ >>> \ mathcal {O} _Z (2) @ >>> 0 \\ @. @VVV @VVV @ | \\ 0 @ >>> \ Omega _ {\ mathbb {P} ^ 2} (2) @ >>> \ mathcal {O} _Z (1) ^ {\ oplus 3} @ >>> \ mathcal {O} _Z (2) @ >>> 0 \\ \ end {CD}

wobei die vertikalen Karten Isomorphismen sind. Deshalb,$\mathcal{N}_{\mathbb{P}^2/\mathbb{P}^5} \cong \Omega_{\mathbb{P}^2}(2)$.