Probleme mit der Variablentransformation über ein Doppelintegral

Question

Betrachten Sie das Doppelintegral über einer Region $D$ $$\iint_D \cos\left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{dA}$$ wo $D$ ist der dreieckige Bereich in der $xy$-Ebene mit Eckpunkten $\{(0, 0), (0, 1), (1, 0)\}$. Skizzieren Sie das Bild der Region$D$ in dem $uv$-Ebene unter der Variablentransformation $u = x - y, v = x + y$ und bewerten Sie das Doppelintegral mit den neuen Variablen $u$ und $v$.

Ich habe die neue Region gefunden $S$ ein dreieckiger Bereich sein, der ein gleichschenkliges Dreieck mit Eckpunkten bei darstellt $(0,0), (0,2) \text{ and } (1,1)$. Die variable Transformation bedeutete das auch$ x = \frac{1}{2}(v+u)$ und $y = \frac{1}{2}(v-u)$. ich weiß das$$\int\int f(x,y) \text{dydx}$$ über eine Region $R$ entspricht auch $$\int\int f(x(u,v), y(u,v))\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial u} \\ \frac{\partial x}{\partial v} & \frac{\partial y}{\partial v} \\\end{vmatrix}\text{dvdu}$$ über eine Region $S$.

Durch Einsetzen aller Gleichungen erhielt ich: $$\int _0 ^1 \int _u ^{-u+2} \frac{1}{2}\cos\left(\frac{u}v{}\right)\text{dvdu}$$ Ich habe die Reihenfolge der Integration geändert und Folgendes erhalten: $$\int _0 ^2 \int _v ^{2-v} \frac{1}{2}\cos\left(\frac{u}v{}\right)\text{dudv}$$ was gleich ist: $$\frac{1}{2} \times \int _0 ^2 v(\sin \left(\frac{2-v}{v}\right) - \sin (1))\text{dv}$$Ich weiß nicht, wie ich es weiter vereinfachen soll, aber ich bin mir sicher, dass es eine rationale Antwort gibt. Kann mir jemand bei diesem Problem helfen?

Answer 1

Ihre Integrationsgrenzen sind falsch. Mit der Transformation haben wir$(0,0)\to (0,0)$, $(0,1)\to (-1,1)$, $(1,0)\to (1,1)$. Das ist die Region$-1\le u\le 1,|u|\le v\le 1$;; Da Ihre Substitution linear ist, wird sie durch drei Punkte bestimmt. Die jakobianische Determinante ist korrekt, ebenso wie der neue Integrand. Also haben wir$$ I=\int_{-1}^{1} \int_{|u|}^1\cos\left(\frac{u}{v}\right) \cdot \frac{1}{2}\;dvdu $$Ändern Sie nun die Reihenfolge der Integration und integrieren Sie: $$ I=\frac{1}{2}\int_{0}^{1} \int_{-v}^v\cos\left(\frac{u}{v}\right) \;dudv =\int_{0}^{1} v\sin\left(1\right) \;dv=\frac{\sin(1)}{2} $$