Produkt als Pullback zerschlagen?
Bei der Betrachtung der $\mathsf{Hom}$-Funktor
$$ \mathsf{Hom}_*: \mathsf{Set}_*^{\text{op}} \times \mathsf{Set}_* \to \mathsf{Set}_* $$
es fühlt sich für mich etwas klar an, dass der linke Zusatz das Smash-Produkt ist
$$ (X,x_0) \wedge (Y,y_0) = (X\times Y) / [(X\times \{y_0\}) \cup (\{x_0\} \times Y)]. $$
Das fühlt sich für mich relativ einfach an, seit wenn $F$ ist dann der linke Adjunkt
$$ \mathsf{Set}_*\left [(X,x_0), \mathsf{Hom}_*\left ((Y,y_0), (Z,z_0)\right ) \right ] \;\; \cong \;\; \mathsf{Set}_*\left [F((X,x_0), (Y,y_0)), (Z, z_0) \right ] $$
was bedeutet, dass $F((X,x_0), (Y,y_0))$ ist eine spitze Menge und entspricht genau Zuordnungen, die für alle Paare der Form konstant sind $(x,y_0)$ und $(x_0,y)$ für alle $x\in X, y\in Y$.
Meine Frage stammt aus Riehls Buch, in dem sie behauptet, dass diese Aussage so kategorisch formuliert werden kann, dass $\mathsf{Set}$ kann durch jede geschlossene kartesische Kategorie ersetzt werden.
Kann das Smash-Produkt als Pullback bezeichnet werden? Mit anderen Worten, haben wir das folgende kommutative Diagramm:
$$ \require{AMScd} \begin{CD} (X,x_0)\wedge (Y,y_0) @>>> X \\ @VVV @VVV \\ Y @>>> X\times Y \end{CD} $$
wobei die ersten beiden Beine Projektionen sind und die nächsten beiden Beine Einschlüsse der Form sind $i_{y_0}:X\to X\times Y$ gegeben durch $i_{y_0}(x) = (x,y_0)$ und ähnlich $i_{x_0}:Y\to X\times Y$ gegeben durch $i_{x_0}(y) = (x_0,y)$? Lassen Sie mich wissen, ob meine Logik richtig erscheint und wenn nicht, in welche Richtung ich dies einschlagen soll. Wo
Antworten
In der Kategorie der spitzen Mengen der Punkt $x_0\in X$ entspricht einem Morphismus $x_0 : * \to X$. Mit zwei spitzen Sätzen können Sie den Pushout bilden$$ \require{AMScd} \begin{CD} * @>>> X \\ @VVV@VVV \\ Y @>>> X \vee Y \end{CD} $$ wo Sie die beiden Punkte identifizieren $x_0,y_0$ in einem einzigen in der disjunkten Vereinigung $X\sqcup Y$.
Beobachten Sie das jetzt $X\vee Y$ ist eine (spitze) Teilmenge von $X\times Y$: Es identifiziert sich mit der Teilmenge $(\{x_0\}\times Y)\times (X\times\{y_0\})$ (einfach, weil die beiden unterschiedlichen Punkte zu einem Punkt wurden $(x_0,y_0)$ im $X\vee Y$).
Was wäre, wenn Sie den Quotienten von nehmen würden? $X\times Y$ durch $X\vee Y$? Dies ist genau das Smash-Produkt von$X$ und $Y$. Gleichzeitig ist dies aber auch der Pushout$$\require{AMScd} \begin{CD} X\vee Y @>>> X\times Y \\ @VVV@VVV \\ * @>>> X\land Y \end{CD} $$ Dies funktioniert in jeder Kategorie mit einem Nullobjekt und allen Pushouts genauso: zum Beispiel in der Kategorie der spitzen topologischen Räume.
Interessante Tatsache ist, dass, wenn Ihre Kategorie beispielsweise die von abelschen Gruppen ist, das "Smash-Produkt" dort das Null-Objekt ist, weil $X\vee Y\cong X\times Y=X\oplus Y$.
Sie können sich das Smash-Produkt also als Maß für das Versagen von Produkten und Nebenprodukten vorstellen, isomorph zu sein: Je größer der Quotient $\frac{X\times Y}{X\vee Y}$Je weiter die Umgebungskategorie von Nebenprodukten entfernt ist .