Propagator im normalen Modus

Question

Ich begann mit dem Hamilton-Operator gekoppelter Oszillatoren in einem kreisförmigen Gitter (mit$m=\hbar=1$und$x_{a+N}=x_{a}$)$$H=\frac{1}{2}\sum_{a=0}^{N-1}\left[p_a^2+\omega^2 x_a^2+\Omega^2\left(x_a-a_{a+1}\right)\right]$$Dann habe ich die Normal-Modi verwendet$$\tilde{x}_k\equiv\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{a=0}^{N-1}\exp\left(-\frac{2\pi i k}{N}a\right)x_a\quad \tilde{p}_k\equiv\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{a=0}^{N-1}\exp\left(\frac{2\pi ik}{N}a\right)p_k$$um die Oszillatoren zu 'entkoppeln':$$H=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{N-1}\left(|\tilde{p_k}|^2+\tilde{\omega_k}^2 |\tilde{x_k}|^2 \right)$$wo$$\tilde{\omega}_k=\omega^2+4\Omega^2\sin^2\left(\frac{\pi k}{N}\right)$$In Bezug auf die Normalmoden ist die Wellenfunktion$$\psi_0\left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..\right)=\prod_{k=0}^{N-1}\left(\frac{\tilde{\omega}_k}{\pi}\right)^\frac{1}{4}\exp\left(-\frac{1}{2}\tilde{\omega}_k|\tilde{x}_k|^2\right)$$Nun möchte ich diesen Zustand zeitlich entwickeln, indem ich das Produkt von Propagatoren freier Oszillatoren verwende. Wenn$\tilde{x}_k$wären echt, dann würde ich mit dem propagator so verfahren$$K\left(\tilde{x}_0,\tilde{x}_1,..;\tilde{x}'_0,\tilde{x}'_1;t\right)=\prod_{k=0}^{N-1}\sqrt{\frac{\tilde{\omega}_k}{2\pi i \sin\left(\tilde{\omega}_k t\right)}}\exp\left[\frac{i\tilde{\omega}_k}{2 \sin\left(\tilde{\omega}_kt\right)}\{\left(\tilde{x_k}^2+\tilde{x_k}'^2\right)\cos\left(\tilde{\omega}_kt\right)-2\tilde{x}_k\tilde{x}'_k\}\right]$$Und ich würde den Zustand mit der Zeit weiterentwickeln$\psi_0$wie$$\psi_1 \left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..;t\right) =\int d\tilde{x}'_0 d\tilde{x}'_1.. K\left(\tilde{x}_0,\tilde{x}_1,..;\tilde{x}'_0,\tilde{x}'_1...;t\right) \psi_0\left(\tilde{x_0},\tilde{x_1},..\right) $$Wie kann ich den Verbreiter finden, wenn er das weiß?$\tilde{x}_k$nicht real ist und dann den zeitentwickelten Zustand finden?

Answer 1

Dies ist eine Frage zum Ändern von Variablen. Im Prinzip wissen Sie, wie man das letzte Integral in Bezug auf einen Satz von Variablen auswertet, die$x_a$. Es wäre jedoch einfacher, es in Bezug auf die zu bewerten$\tilde{x}_k$.

Das ursprüngliche Integral ist beendet$x_a \in \mathbb{R}^N$, also müssen Sie die entsprechende Region von (komplex) herausfinden$\tilde{x}_k$-Platz. Eine Fourier-Transformationseigenschaft ist praktisch: Die$x_a$sind real, wenn und nur wenn$\tilde{x}_{-k} = \tilde{x}_{k}^*$. Wir können also nur für nichtnegative Werte von über die gesamte komplexe Ebene integrieren$k$. `

Wir müssen auch den Jacobi der Transformation einbeziehen. Die diskrete Fourier-Transformation ist einheitlich mit der von Ihnen gewählten Normalisierung, daher ist die Jacobi-Transformation gerecht$1$.