Regression mit flexibler Funktionsform

Question

Ich gehe von einem Modell der Form aus

$$Y_i=\alpha+\beta X_i+g(\mathbf{Z}_i)+\epsilon_i,$$

Hier $\mathbf{Z}_i$ ist ein $m$ Dimensionsvektor und $\epsilon_i$ist iid weißes Rauschen. Ich würde gerne feststellen, ob$\beta$ ist statistisch signifikant basierend auf meinen Daten, ohne eine starke Haltung der Form von einzunehmen $g$. Welche Typmethoden werden normalerweise für diese Art von Problem angewendet?

Answer 1

Das klingt nach einem großartigen Job für GAMs über das mgcvPaket. Verwenden Sie zum Schätzen einen bestraften Glättungs-Spline$g$ und fügen Sie einen additiven Effekt von hinzu $X$. Das Modell würde so aussehen gam(y ~ x + s(z).

library(mgcv)
#> Loading required package: nlme
#> This is mgcv 1.8-31. For overview type 'help("mgcv-package")'.


z = rnorm(1000)
x = rnorm(1000)
y = 2 + 0.25*x + sin(pi*z) + rnorm(1000, 0, 0.3)
d = data.frame(x, y, z)

model = gam(y ~ x + s(z), data = d)

summary(model)
#> 
#> Family: gaussian 
#> Link function: identity 
#> 
#> Formula:
#> y ~ x + s(z)
#> 
#> Parametric coefficients:
#>             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
#> (Intercept) 1.968566   0.009514  206.91   <2e-16 ***
#> x           0.262245   0.009888   26.52   <2e-16 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> Approximate significance of smooth terms:
#>        edf Ref.df     F p-value    
#> s(z) 8.977      9 625.1  <2e-16 ***
#> ---
#> Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
#> 
#> R-sq.(adj) =  0.865   Deviance explained = 86.6%
#> GCV = 0.091407  Scale est. = 0.090404  n = 1000

^{Erstellt am 2020-10-20 durch das reprex-Paket (v0.3.0)}

Answer 2

Dieses Modell ist ein teilweise lineares Regressionsmodell, und in Ihrem Fall $g(Z)$ist ein Störparameter. Auf Seite 62 dieses Links finden Sie eine Einführung zu diesem Thema. Besonders hervorzuheben in der Anwendung ist Robinsons Transformation (Abschnitt 7.7 auf Seite 62 der verknüpften Datei).

Inferenz ist in diesen Einstellungen besonders schwierig, da es schwierig ist, etwas über die Asymptotik von zu sagen $g(Z)$Im Allgemeinen müssen Sie also normalerweise davon ausgehen, dass es sich um einen Raum handelt. Ein kürzlich sehr allgemeiner Inferenzansatz wurde von Chernozhukov et al. (2017) wenn von Interesse.