Rotation eines Spinors
Ich habe eine Frage zu einem intuitiven Ansatz für Spinoren als bestimmte mathematische Objekte, die bestimmte Eigenschaften haben, die sie Vektoren ähnlich machen, aber andererseits gibt es eine Eigenschaft, die Spinoren von Vektoren unterscheidet:
Wiki gibt eine ziemlich geometrische Beschreibung eines Spinors:
"Im Gegensatz zu Vektoren und Tensoren wandelt sich ein Spinor in sein Negativ um, wenn der Raum kontinuierlich um eine vollständige Umdrehung von gedreht wird $0°$ zu $360°$ (siehe Bild). "
Andere Quellen geben außerdem an, dass, wenn Sie einen Spinor um drehen $720°$Grad erhalten Sie den gleichen Spinor. Klar, wenn wir einen üblichen Vektor um drehen$360°$wir erhalten den gleichen Vektor. Spinoren sind also keine Vektoren im üblichen Sinne.
FRAGE : Was ich nicht verstehe, ist genau das, was eine "Rotation eines Spinors" ist. Wie kann diese Art der "Rotation" beschrieben werden?
Ich weiß, dass die Frage banal klingt, aber wenn wir uns daran erinnern, was eine Rotation im naiven Sinne ist, denken wir an eine Rotation in einem sehr konkreten Rahmen: Die naive Rotation ist eine Operation eines Elements aus einer Gruppe $SO(3)$ auf dem realen Raum $\mathbb{R}^3$. Da leben Spinoren nicht in$\mathbb{R}^3$ Ich denke, es ist notwendig, genau anzugeben, was eine "Roation" in dem Raum ist, in dem Spinoren leben.
Zeichnen wir eine Analogie zu üblichen Vektoren & $3D$Raum. Eine übliche Rotation in$3D$ wird durch die Rotationsachse bestimmt $\vec{b}$ und Drehwinkel $\phi$. Sagen wir wlog, wir drehen uns um$z$-Achse nach Winkel $\phi$, dann wird die Drehung von dekodiert $3 \times 3$ Matrix $R_{\phi} \in SO(3)$
$$R_{\phi}= \begin{pmatrix}cos(\phi)&-sin(\phi)&0\\sin(\phi)&cos(\phi)&0\\0&0&1\end{pmatrix} $$
Das ist wenn $\vec{v} \in \mathbb{R}^3$ dann die Drehung von $\vec{v}$ ist einfach $R \vec{v}$.
Aber was ist konkret eine "Rotation eines Spinors"? Wie ist es beschrieben?
Der Einfachheit halber konzentrieren wir uns auf die häufigste Spinordarstellung aus der Teilchenphysik: Die Untergruppe $SU(2) \subset SL(2, \mathbb{C})$ bietet eine einfach angeschlossene $2$ zu $1$ Karte abdecken $f:SU(2) \to SO(3)$der Rotationsgruppe. Deutlich$SU(2)$ fungiert als Untergruppe von $SL(2, \mathbb{C})$ auf komplexen Vektorraum $\mathbb{C}^2$. Da in dieser Einstellung$SU(2)$ liefert eine Spinordarstellung, die wir bestimmte Vektoren von nennen können $\mathbb{C}^2$ "Spinoren", richtig?
Aber was ist hier eine Rotation der Spinoren? Nehmen wir an, wir nehmen einen beliebigen Spinor$s \in \mathbb{C}^2$ und möchten eine "Drehung" um eine bestimmte Achse um einen bestimmten festen Grad durchführen $\phi$. Welches Objekt in$SU(2)$ stellt diese sogenannte "Rotation" dar und warum wird eine solche Operation an Spinoren als "Rotation" bezeichnet?
Antworten
Eine Rotation eines Spinors $\psi$ (sieht aus wie ein komplexer 2-Vektor) um einen Winkel $\phi$ um die Einheitsachse $\hat n$ ist aber $$ \psi \mapsto e^{i {\phi\over 2} \left(\hat{n} \cdot \vec{\sigma}\right)} \psi= \left (I\cos {\phi\over 2} + i (\hat{n} \cdot \vec{\sigma}) \sin {\phi\over 2}\right ) \psi , $$ wo $\vec \sigma$ sind die drei Pauli-Matrizen, doppelt so viele Rotationsgeneratoren in der Dublettdarstellung.
Sie können sehen, wie eine 2π-Drehung das Umdrehen ihres Vorzeichens und das Doppelte der Identität bedeutet.
Die Pauli- und Dirac-Matrizen sind Basisvektoren von Clifford-Algebren des euklidischen 3D-Raums bzw. des 3 + 1d-Minkowski-Raums. Wenn Sie Spinoren verstehen wollen, müssen Sie wahrscheinlich Clifford-Algebren verstehen.
In Clifford-Algebren werden Reflexionen durch den Ursprung durch Einheitsvektoren dargestellt (betrachten Sie sie als Oberflächennormalen von Spiegeln). Das algebraische Produkt setzt Reflexionen zusammen. Vektoren können wie im zugrunde liegenden Vektorraum als gewichtete Summen von Basisvektoren geschrieben werden. In der Pauli / Dirac-Matrixdarstellung sind die Pauli / Dirac-Matrizen die Basisvektoren ($\hat t$), $\hat x$, $\hat y$, $\hat z$.
Jede Drehung kann als Produkt einer geraden Anzahl von Reflexionen geschrieben werden. Im euklidischen 3D-Raum leben die Clifford-Produkte einer geraden Anzahl von Einheitsvektoren in einem Unterraum der Algebra, der isomorph zu den Einheitsquaternionen ist. In 3 + 1d Minkowski - Raum ist der Unterraum der Einheit isomorph Biquaternion .
Um einen Vektor in einem Spiegel zu reflektieren, multiplizieren Sie ihn auf beiden Seiten mit der Clifford-Darstellung der Oberflächennormalen (und möglicherweise einem Faktor von $-1$). Sie können sich anhand der Reflexionsinterpretation der Algebra davon überzeugen, dass dies sinnvoll ist. Um einen Vektor zu drehen, konjugieren Sie ihn mit dem entsprechenden geraden Produkt, wobei das Inverse das gleiche Produkt in umgekehrter Reihenfolge ist.
Spinoren transformieren sich durch Multiplikation mit denselben Darstellungen von Reflexionen / Rotationen, jedoch nur auf einer Seite, nicht auf beiden.
Ich denke, ein allgemeines geometrisches Verständnis von Spinoren ist ein offenes Problem. Zumindest in geringen Dimensionen (wahrscheinlich einschließlich 3 + 1) kann man sich die Clifford-Darstellung eines Spinors als eine Rotation vorstellen, von einer "kanonischen Spinororientierung" zur tatsächlichen Orientierung. Das Drehen eines Spinors bedeutet daher, seine Darstellung mit einer anderen Drehung zusammenzusetzen.
Der wesentliche Grund dafür, dass eine Drehung um 720 ° erforderlich ist, um zur ursprünglichen Ausrichtung zurückzukehren, ist die Reflexion durch zwei Spiegel in einem Winkel $θ$ auseinander dreht ein Objekt um $2θ$. Wenn Sie einen Spiegel um 180 ° drehen, kehrt die Ebene des Spiegels in ihre ursprüngliche Position zurück, aber die Oberflächennormale zeigt in die entgegengesetzte Richtung, und die Darstellung der Drehung als Produkt von Vektoren hat daher einen Faktor von aufgenommen$-1$.
Da Sie nach Intuition fragen, wird meine Antwort in diese Richtung gehen. Sie sollten Rotationen nicht mental mit Vektoren verknüpfen$\mathbb{R}^3$. Stattdessen sollten Sie sie der Gruppe zuordnen$SO(3)$. Darüber hinaus sollten Sie darüber nachdenken$SO(3)$ als abstrakte Gruppe, nicht als eine Menge von $3\times 3$Matrizen. Die Menge der 3x3-Matrizen ist eher eine Darstellung der Gruppe im dreidimensionalen Realraum. Dies ist in der klassischen Physik nützlich, wo Richtungen im Raum 3 reale Freiheitsgrade haben.
Aber anscheinend gibt es Dinge auf dieser Welt, die Freiheitsgrade haben, an die Sie in der klassischen Welt vielleicht nicht gewöhnt sind, die aber dennoch sehr physisch sind. wie der Spinfreiheitsgrad eines Elektrons. Diese werden durch einen Spinor (ein Element von$\mathbb{C}^2$) und kein Vektor in $\mathbb{R}^3$.
Jetzt in der Physik lieben wir Linearisierung und Taylor-Erweiterungen; Sie geben Ihnen lineare Dinge und diese sind einfach zu bearbeiten. Anstatt über Übersetzungen und Rotationen zu sprechen, denken wir gerne über ihre ersten Ableitungen in einer Taylor-Erweiterung nach. nämlich lineare Geschwindigkeiten und Winkelgeschwindigkeiten (die proportional zu den Impulsen und Winkelimpulsen sind). Sie können Winkelgeschwindigkeiten als (Pseudo-) Vektoren erkennen$\omega_i$, aber es ist in der Tat äquivalent und manchmal bequemer, Winkelgeschwindigkeiten als antisymmetrische 3x3-Matrizen auszudrücken $W_{ij} = \epsilon_{ijk}\omega_k$. Sie wissen vielleicht, was dann passiert, wenn Sie eine solche antisymmetrische Matrix potenzieren: Sie erhalten eine$SO(3)$Matrix, die eine endliche Rotation bildet. Genauer gesagt würden Sie in der klassischen Mechanik schreiben (mit der Poisson-Klammer und$L_z$ der Drehimpuls in z-Richtung): $R_\phi = e^{\{\phi L_z, \cdot\}}$
In der Quantenmechanik kennen Sie für Spin-Freiheitsgrade den Drehimpulsoperator in z-Richtung $\mathbf{\frac{1}{2}}\sigma_z$. Beachten Sie die Hälfte. Die 2x2 komplexe Rotationsmatrix nach Winkel$\phi$ um die z-Achse ist dann gerade $R_\phi = e^{i\phi\frac{1}{2}\sigma_z}$. Diese Hälfte führt schließlich zur Hälfte im Halbwinkelargument und zur$720^\circ$Trick. Physisch ist genau das, was mit diesen passiert$\mathbb{C}^2$ Freiheitsgrade unter Rotation.
Ich persönlich finde es nicht wirklich überraschend. Die Freiheitsgrade des Spins eines Elektrons wandeln sich zufällig unter Rotationen. Die Winkelgeschwindigkeit von drei Freiheitsgraden, dargestellt als Vektor, transformiert sich lustig unter Reflexionen, aber es gibt nichts Tiefes daran. Die Masse oder Temperatur eines Objekts zum Beispiel wandelt sich unter Rotationen überhaupt nicht um, was nicht überraschend ist. Die Freiheitsgrade des Elektronenspins wandeln sich unter Rotationen lustig um, warum sollte das dann überraschend sein?