Satz von Munkres van Kampen
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Das sieht für mich richtig aus. Im letzten Schritt verwenden Sie das$i_1(N) \subset M$Welches ist die entscheidende Information in diesem Problem. Die Idee, weniger genau, ist zu verwenden$$ \pi_1(V, x_0) \cong \pi_1(U \cap V, x_0)/N \xrightarrow{i_1} \pi_1(U, x_0)/M = H $$ wo die zweite Karte induziert wird durch $i_1 : \pi_1(U \cap V, x_0) \to \pi_1(U, x_0)$ und existiert weil $i_1(N) \subset M$.
Dies ist die richtige Lösung, aber ich werde erwähnen, dass ich dies gerne etwas anders betrachte. Van Kapens Theorem identifiziert$\pi_1(X, x_0)$ mit dem amalgamierten freien Produkt $G_1 *_H G_2$ wo $G_1 = \pi_1(U, x_0)$ und $G_2 = \pi_1(V, x_0)$ und $H = \pi_1(U \cap V, x_0)$ (Dies ist genau das Colimit des Diagramms, das Sie in der Kategorie der Gruppen notiert haben).
Nehmen wir nun an $H \to G_2$ ist surjektiv gut es sollte "klar" sein, dass $G_1 *_H G_2 = G_1 / \left< \ker{(H \to G_2)} \right> $ wo $\left< \ker{(H \to G_2)}\right>$ ist die normale Untergruppe von $G_1$ generiert durch das Bild in $G_1$ des Kernels von $H \to G_1$. Warum ist das? Na wenn alles rein ist$G_2$ ist im Bild von $H \to G_2$ dann kann es in "weg verschmolzen" werden $G_1$ und außerdem tötet die Verschmelzung alles in $G_1$ das kommt von irgendetwas rein $H$ Zuordnung zu Null unter $H \to G_2$. Wenn Sie mit der Kategorietheorie vertraut sind, sollten Sie in der Lage sein, dies zu zeigen, wenn$H \to G_2$ ist dann surjektiv $H \to G_1 \to G_1 *_H G_2$ macht $G_1 *_H G_2$ der cokernel von $H \to G_1$ genau das geben was du willst.