Satzformel und Übersetzung

Question

Auf der Grundlage der folgenden Abkürzung: $A$ - Sanders ist Anführer; $B$ - Florida liegt im Süden; $C$ - Joe ist Sanders Bruder; $D$ - Sanders kommt aus Florida und übersetzt die folgende Symbolformel in natürliches Englisch.

$A \Rightarrow (B \Rightarrow (C \Rightarrow D))$

Ich habe sehr wenig Hintergrundwissen für die alternative Verwendung von "Wenn-Dann" und wäre daher sehr willkommen, wenn jemand Ideen vorschlagen könnte, wie man es in einen normalen Satz übersetzt?

Answer 1

Das erste, was ich tun würde, ist, einige der Implikationen zu beseitigen, indem ich die Tatsache verwende, dass für alle Satzbegriffe $p$ und $q$, die Implikation $p \to q$ ist logisch äquivalent zu $\neg p \vee q$, wo $\neg$ liest als "nicht" ein $\vee$als "oder" in natürlichem Englisch; Für eine Erklärung dieser Tatsache können Sie diesen MSE-Beitrag konsultieren . Wenn ich lasse$\equiv$ Sei das Symbol für die Beziehung "ist logisch äquivalent zu", so haben wir folgende Äquivalenzen:

$$\begin{align} A \to (B \to (C \to D)) &\equiv A \to( B \to (\neg C \vee D))\\ &\equiv A \to (\neg B \vee (\neg C \vee D)) \\ &\equiv A \to (\neg B \vee \neg C \vee D )\end{align} $$

Daher könnte man Ihre gegebene logische Formel in natürlichem Englisch übersetzen als:

Wenn Sanders der Anführer ist, dann ist entweder Florida nicht im Süden oder Joe ist nicht Sanders Bruder oder Sanders ist aus Florida.

Answer 2

$$\begin{align} A \to (B\to (C \to D)) &\equiv A \to ((B \land C) \to D)\\ \\ &\equiv (A\land B \land C) \to D\tag 1\\ \\ &\equiv \lnot (A \land B \land C) \lor D\\ \\ &\equiv (\lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C) \lor D\tag 2\\ \\ &\equiv \lnot A \lor \lnot B \lor \lnot C \lor D\end{align}$$

$(1)$ Dies basiert auf der Äquivalenz von $$p \to (q \to r) \equiv (p\land q) \to r$$

$(2)$ das basiert auf $(1)$ und die Tatsache, dass $\lnot p \to q \equiv p \lor q$. (Beachten Sie, dass dies daran liegt$p \to q \equiv \lnot p \lor q$.)

Answer 3

Um die Antwort von Ricks zu erweitern, $A\rightarrow(B\rightarrow(C\rightarrow D))$, was äquivalent zu ist $\lnot A\lor\lnot B\lor\lnot C\lor D$ist wiederum das gleiche wie $\lnot (A\land B\land C)\lor D$(unter Verwendung des Gesetzes von de Morgans ). Dies kann auf verkürzt werden$(A\land B\land C)\rightarrow D$unter Verwendung der Definition der Implikation, die Rick erwähnte.

$(A\land B\land C)\rightarrow D$ übersetzt viel natürlicher ins Englische:

Wenn Sanders führend ist, Florida im Süden liegt und Joe Sanders Bruder ist, dann kommt Sanders aus Florida.