Schlank in jeder Größe?

Question

Erinnern Sie sich an diese Frage, dass wir eine positive ganze Zahl als schlank oder kurz schlank bezeichnen, wenn sie Teil einer Folge von ganzen Zahlen ist, bei denen jede von sich aus geteilt wird, geteilt durch ihre Länge , dh ihre Anzahl von Ziffern. Insbesondere muss jedes durch seine Länge teilbar sein und die Sequenz wird fallen, bis es eine einstellige Zahl trifft.

Beispiele:

108: schlank weil $108\overset{/3}{\rightarrow}36\overset{/2}{\rightarrow}18\overset{/2}{\rightarrow}9\overset{/1}{\circlearrowleft}$

78: nicht schlank weil $78\overset{/2}{\rightarrow}39\overset{/2}{\rightarrow}\Vert$

Beweisen oder widerlegen Sie dies für jede positive ganze Zahl $n$ Es gibt eine schlanke Zahl mit $n$ Ziffern.

Hinweis: Sie können einen Computer verwenden, um entweder ein Zählerbeispiel zu erstellen oder um beispielsweise ein asymptotisches Ergebnis zu ergänzen, oder was auch immer Sie für richtig halten. Wenn Sie sich dazu entscheiden, beantworten Sie zur Validierung Ihres Codes bitte die folgenden Testfragen:

Gibt es irgendwelche Lösungen mit $11111$Ziffern? Wenn ja: Wie viele? Was sind die ersten 10 Ziffern ihres Medians?
Für jede$n$ zwischen $1$ und $11111$ Berechnen Sie die Anzahl der Lösungen mit $n$Ziffern. Was ist die größte Anzahl?

Hier ist ein Testfall, den Sie als schnelle Überprüfung Ihres Codes verwenden können:

Bei 3590 Stellen gibt es vier Lösungen. Sie alle nehmen ab$6$. Die ersten zehn Ziffern dieser Nummern sind "3159252337 ...", "3735860235 ...", "4606981484 ...", "6706597705 ...".

Answer 1

Fazit:

Für jeden $n$-stellige Zahl, es kann keine schlanke Zahl für alle positiven ganzen Zahlen existieren $n$.

Argumentation:

Für alle $n$muss es ein Vielfaches von geben $n$ das ist $n$-Ziffern lang.

Nennen wir unsere $n$-stellige Nummer $Z$.
Berücksichtigen Sie das in$10^{ceil(log(n))}$ - Nennen wir das $a$, da muss sein $a/n$ Vielfache von $n$. Dies bietet uns den Weg zum Abnehmen.
Lassen Sie uns zurückblicken$Z$. Durch die vorhergehenden 2 Schritte, vorausgesetzt wir haben das Recht gewählt$Z$wird es mindestens eine Nummer geben $y$ von Länge $(n-a)$ oder $(n-a+1)$ wo $y = Z/n$ und kann mit einem neuen ausgedrückt werden $Z$ um den Vorgang zu wiederholen.

Ich bin jetzt stolzer Besitzer einer Excel-Tabelle, die neue Werte von 5 bis 9 generiert (da 1 bis 4 keine zweistellige Zahl generieren kann) und dort endet, wo Excel einen # Value-Fehler trifft.

Das Bild unten ist in absteigender Reihenfolge (9 bis 5)

Was mich frisst, ist groß $n$.

Zum $n$ = 1 Milliarde, ich kann nicht garantieren, dass es eine schlanke Zahl für geben wird $n$zwischen 1 Milliarde - 1 und 1 Milliarde - 9, zumal ich nur 5 Startpfade habe.
Und da würde der Abstand immer größer werden als$n\rightarrow\infty$kann es nicht für alle positiven ganzen Zahlen eine schlanke Zahl geben$n$.

zB für$n$ = $1E1,000,000$würde meine Division dazu führen, dass die erste Zahl um 6 Stellen sinkt, und ich könnte die Lücke möglicherweise nur mit 5 deterministischen Pfaden füllen, aber schließlich würde sie nicht gefüllt werden.