Schleifenraum eines endlichen CW-Komplexes

Question

Lassen $X$ ein endlich verbundener spitzer CW-Komplex sein und $H_{\ast}(\Omega X)$ die integrale Homologie des Schleifenraums auf $X$. Sind die Homologiegruppen$H_{n}(\Omega X)$ endlich erzeugte abelsche Gruppen für jede $n$ ?

Wenn die Antwort negativ ist, welche Bedingungen sind ausreichend, um sie aufzuerlegen? $\pi_{1}(X)$ so dass die Homologiegruppen $H_{n}(\Omega X)$ stellt sich heraus, endlich generiert zu werden?

Mein Ziel ist es, unterschiedliche ausreichende Bedingungen für die Grundgruppe zu sammeln, für die eine positive Antwort gilt.

Answer 1

Dies gilt für endlich $\pi_1$ und falsch für unendlich $\pi_1$: Lassen $\widetilde{X}$ bezeichnen die universelle Abdeckung von $X$, dann $\Omega\widetilde{X}$ ist die an die Einheit angeschlossene Komponente von $\Omega X$, und $\Omega X = \coprod_{\pi_1(X)} \Omega\widetilde{X}$. Also wenn$\pi_1$ ist dann sicher unendlich $H_0(\Omega X)$ wird nicht endlich generiert, wie andere in den Kommentaren vermerkt haben, und zwar wenn $\Omega\widetilde{X}$ hat eine nichttriviale Homologiegruppe (was wahr ist, es sei denn $\widetilde{X}$ ist vertraglich), eine höhere Homologiegruppe von $\Omega X$ wird eine unendliche direkte Summe nichttrivialer abelscher Gruppen sein, also auch nicht endlich erzeugt.

Wenn $\pi_1$ ist auf der anderen Seite endlich, $\widetilde{X}$ist wieder ein endlicher CW-Komplex, daher reicht es in diesem Fall aus, den einfach verbundenen Fall zu betrachten. Für einen einfach verbundenen endlichen CW-Komplex$X$, $H_*(\Omega X)$ besteht in der Tat aus endlich erzeugten abelschen Gruppen, die auf Serre zurückgehen (und sich leicht anhand der nach ihm benannten Spektralsequenz beweisen lassen).