Sequenzen, mathematische Analyse usw.

Question

Lassen $ a_1, \ldots, a_p $fest positive reelle Zahlen sein. Betrachten wir die Sequenzen,$$s_n=\dfrac{a_1^n+a_2^n+\cdots +a_p^n}{p}\ \text{and}\ x_n=\sqrt[n]{s_n},\quad n\in\mathbb N $$ Zeigen Sie, dass die Reihenfolge $ \{x_n \} $ ist monoton ansteigend.

Ich habe versucht, Folgendes zu demonstrieren, bin aber zu nichts gekommen: $$\left (\sum_{k=1}^n a_k^p \right )^2\leq \sum_{k=1}^n a_k^{p+q}\sum_{k=1}^n a_k^{p-q},\ \forall p,q\in\mathbb R, a_1,\ldots,a_n\in\mathbb R^+ $$

Answer 1

Lassen $n <m$. Dann$ \sum\limits_{i=1}^{p} |a_i|^{n} \leq (\sum\limits_{i=1}^{p} |a_i|^{m})^{n/m} (\sum\limits_{i=1}^{p} 1)^{1-\frac n m}$ durch die Ungleichheit des Inhabers mit Exponenten $p=\frac m n$ und $q=\frac m {m-n}$. Erhebe einfach beide Seiten an die Macht$1/n$ beenden.