Sind alle Matrixgruppen Lügengruppen?

Question

Ich lese Vorlesungen über Lie-Gruppen und Lie-Algebren und stoße auf Seite 50 auf die Aussage "Alle Matrixgruppen sind Lie-Gruppen". Bedeutet es alle Untergruppen von allgemeinen linearen Gruppen? Wenn ja, wie beweise ich das?

Answer 1

Die Autoren haben eindeutig gepatzt. Es gibt sogar Beispiele für Matrixgruppen, die als abstrakte Gruppen nicht isomorph zu Lie-Gruppen sind. (In der Theorie topologischer Gruppen verwendet man üblicherweise homöomorphe Isomorphismen. Wenn ich sage, dass ein Isomorphismus topologischer Gruppen abstrakt ist , dann meine ich damit, dass es sich um einen rein gruppentheoretischen Isomorphismus handelt, der nicht stetig sein muss.)

Zum Beispiel die Additivgruppe$\widehat{{\mathbb Z}}_p$von p-adischen ganzen Zahlen ist isomorph zu einer Untergruppe$G$der additiven Gruppe der reellen Zahlen${\mathbb R}$. Dieser Isomorphismus kann wie folgt gesehen werden. Der algebraische Abschluss$\overline{{\mathbb Q}_p}$des Fachgebiets$p$-adische Zahlen ist isomorph (als Körper) zu${\mathbb C}$. Dies ergibt eine Einbettung (als abstrakte Gruppe) von$\widehat{{\mathbb Z}}_p$in der additiven Gruppe der komplexen Zahlen. Letztere ist (als abstrakte Gruppe) isomorph zur additiven Gruppe der reellen Zahlen.

Man kann zeigen, dass die additive Gruppe$\widehat{{\mathbb Z}}_p$ist zu keiner Lie-Gruppe isomorph (als abstrakte Gruppe). (Meine Definition einer Lie-Gruppe beinhaltet die zweite zählbare Annahme.) Der Schlüssel ist das$\widehat{{\mathbb Z}}_p$ist eine profinite Gruppe , was impliziert, dass jede nichttriviale Untergruppe von$\widehat{{\mathbb Z}}_p$hat einen Epimorphismus zu einer nichttrivialen endlichen (zyklischen) Gruppe. Gleichzeitig, wenn$H$ist eine zusammenhängende abelsche Lie-Gruppe,$H$lässt keine (auch nicht kontinuierlichen) Epimorphismen für endliche nichttriviale Gruppen zu. Seit$\widehat{{\mathbb Z}}_p$nicht zählbar ist, ist keine Untergruppe des zählbaren Index darin isomorph zu einer Lie-Gruppe. Jede Lie-Gruppe enthält jedoch eine zusammenhängende Lie-Untergruppe mit zählbarem Index. Daher,$\widehat{{\mathbb Z}}_p$ist zu keiner Lie-Gruppe (als abstrakte Gruppe) isomorph.