Subring isomorph zu einem Quotientenring

Question

Lassen $I$ Bereich über Sequenzen $(i_1,\dots,i_n,\dots)$von natürlichen Zahlen mit nur endlich vielen Nicht-Null-Begriffen. Nennen Sie diesen Satz von Sequenzen$\mathbb{N}^{(\mathbb{N})}$. Betrachten Sie formale Summen \ begin {Gleichung} \ displaystyle \ sum_ {I \ in \ mathbb {N} ^ {(\ mathbb {N})}} c_Ix ^ {I}, \ end {Gleichung} mit dem$c_I \in \mathbb{Z}$, und wo $x^I$ist ein formales Element, das wir als Repräsentation des (endlichen) Monoms \ begin {Gleichung} \ displaystyle \ prod_ {n = 1} ^ {\ infty} x_ {n} ^ {i_n} betrachten. \ end {Gleichung} Ohne Einschränkung$c_I$und mit polynomartiger Addition und Multiplikation ausgestattet, bildet die Sammlung all dieser formalen Summen einen Ring \ begin {Gleichung} R = \ mathbb {Z} [[x_i | 1 \ leq i \ leq \ infty]]. \ end {Gleichung} Es ist leicht zu erkennen, dass der Ring$S=\mathbb{Z}[x_i|1 \leq i \leq \infty]$ von Polynomen in unendlich vielen Variablen (der einzige Unterschied in der Konstruktion von $S$ von dem von $R$ ist das Auferlegen von Beschränkungen für die Koeffizienten $c_I$) ist ein Unterring von $R$. Meine Frage ist, können wir eine Teilmenge finden$E$ von $R$ st $R/(E) \cong S$.

Answer 1

Es gibt ein erhebliches Hindernis, das das ist $R$ hat viele Einheiten und $S$hat sehr wenige Einheiten. Formal sind die einzigen Einheiten in$U$ sind die Konstanten $\pm 1$ (zB weil der Grad eines Produkts die Summe der Grade ist) während in $T$ jede Serie mit konstanter Laufzeit $\pm 1$ ist invertierbar, im Grunde weil $(1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \dots$.

Dies bedeutet, dass wenn $f : R \to S$ ist dann ein Homomorphismus $f$ sendet jedes Element von $T$ Dies kann als Summe der Einheiten des konstanten Teilrings ausgedrückt werden $\mathbb{Z}$ von $U$. In der Tat jedes Element von$R$ ist eine Summe von Einheiten: wenn $f \in R$ hat konstante Laufzeit $f(0)$ dann schreibe es als Summe von $f(0) - 1$ Kopien von $1$ und $f - f(0) + 1$ das hat konstante Laufzeit $1$.

Die Schlussfolgerung ist, dass jeder Homomorphismus $f : R \to S$ landet in $\mathbb{Z}$und so kann insbesondere nicht surjektiv sein. (Ich glaube nicht, dass ich jemals diesen "Subring Generated by Units" -Konstruktion gesehen habe, er ist ziemlich niedlich. Ich wollte gerade eine neue Frage dazu stellen und wurde hilfreich auf diese math.SE-Frage dazu hingewiesen .)