Substitution / Änderung der Variablen in der Integration

Question

Integrationstechniken sind für mich im Moment Neulinge, und mir wurde dieses Integral zugewiesen. Mein Professor empfiehlt, diese Funktion durch Substitution / Änderung der Variablen zu integrieren.

$$\int (x^6+x^3)\sqrt[3]{x^3+2} dx$$

Er gab mir einen Hinweis, nachdem er ihn um Hilfe gebeten hatte, und sagte zu mir: »Sehen Sie sich an, was sich in der Kubikwurzel befindet. Wenn Sie also die Ableitung von dem nehmen, was sich im Inneren befindet, erhalten Sie, was sich außerhalb der Kubikwurzel befindet. Damit dies funktioniert, könnten Sie versuchen, etwas aus x ^ 3 + 2 heraus zu faktorisieren. Wenn Sie es ableiten, kann Ihnen das Ergebnis bei allem helfen, was sich außerhalb der Kubikwurzel befindet. «Ich dachte zum Beispiel x ^ 3 + 2 = x ^ 3 (1 + 2x ^ -3)

Answer 1

Ich würde das Integral umschreiben als

$$\int x\color{red}{x^2}(x^3+1)\sqrt[3]{\color{red}{x^3+1}+1}\,\mathrm dx$$

dann ersetzen $u=x^3+1$ (was gibt $x=\sqrt[3]{u-1}$) und $\mathrm du=3x^2\,\mathrm dx$ zu bekommen

$$\frac13\int\sqrt[3]{u-1}u\sqrt[3]{u+1}\,\mathrm du=\frac13\int u\sqrt[3]{u^2-1}\,\mathrm du$$

Dann noch eine Substitution, $v=u^2-1$ und $\mathrm dv=2u\,\mathrm du$und dich verlassen mit

$$\frac16\int\sqrt[3]{v}\,\mathrm dv$$