Summe über Binomialkoeffizienten

Question

Ich möchte herausfinden, ob die folgende Summe eine geschlossene Form hat: $$\sum_{j=0}^N{j+k-1\choose k-1}{N-j+k-1\choose k-1}$$

Ich habe versucht, die Summe so umzuschreiben, dass ich die folgende Form der Vandermonde-Identität verwenden kann: $$\sum_{m=0}^n{m\choose j}{n-m\choose k-j}={n+1\choose k+1}$$ aber ich konnte zu keinem Ergebnis kommen.

Answer 1

Hinweis: Dir geht es gut! Mit dem, was Sie dort setzen, werden Sie brauchen$n-(j+k-1)=N-j+k-1$ impliziert $n=N+2k-2$ und das hast du auch $2k-2-(k-1)=k-1$ Also nimm die $k$ in der zweiten Gleichung zu sein $2k-2.$