Supremum von $\sin(x) + \sin(\varphi x)$

Question

Lassen $\varphi$sei der goldene Schnitt. Was ist das Höchste von$f(x)=\sin(x) + \sin(\varphi x)$?

Meine Idee war, dass wir die Reihenfolge der Funktionen berücksichtigen können $f_n(x) = \sin(x) + \sin(\frac{F_{n+1}}{F_n} x)$ für die Fibonacci-Zahlen $F_n$, die zu konvergiert $f(x)$. Die Sequenz$\{x_n\}_{n \geq 1}=F_n \pi + a_n$ befriedigt $f_n(x_n) = \sin(a_n) + \sin(F_n a_n)$, so dass, wenn wir die richtige wählen $a_n$, dann $f_n(x_n) =2$ $\forall n$;; Dies ändert das Problem in eins mit einer ganzen Zahl anstelle von$\varphi$, aber ich bin mir nicht sicher, wo ich von hier aus vorgehen soll.

Answer 1

Offensichtlich ist das Maximum oben durch begrenzt $2$wie jeder $\sin$ hat ein Maximum von $1$.

Sie erhalten das Maximum für die erste Funktion, wenn $\sin x = 1$ oder $x = 2 \pi k_1 + \pi/2$ für eine ganze Zahl $k_1$und ebenso wann $\sin (\phi x) = 1$ oder $\phi x = 2 \pi k_2 + \pi/2$. Eine kleine Manipulation gibt:

$$k_1 = \frac{k_2}{\phi} - \frac{\phi - 1}{4 \phi}$$

weil $\phi$ ist nicht rational, man kann diese Gleichung nicht genau für lösen $k_1$ und $k_2$. Sie können dies jedoch beliebig genau approximieren, indem Sie auswählen$k_2$ extrem groß (z. $10^{1000}$) und lösen für $k_1$. Auf diese Weise können Sie so nah wie möglich kommen$f(x) = 2$ wie es Dir gefällt.