Über den Satz von Darboux

Question

Was ich gelernt habe, besagt, dass der Satz von Darboux verwendet werden kann, um zu beweisen, dass eine Funktion, die nicht stetig ist, auch mit dem Zwischenwertsatz wahr sein kann. Ist das richtig? Aber warum sprechen wir nicht über dieses Thema, wenn wir diesen Satz beweisen? Ist das nicht so wichtig? Bitte antworten Sie ... ps Es tut mir leid, dass ich nicht gut in Englisch bin ... und ich bin ein Highschool-Schüler in Korea. Können Sie einfacher erklären als andere?

Answer 1

Betrachten Sie eine beliebige differenzierbare Funktion$f(x)$.

Also im Spezialfall wo$f(x)$stetig differenzierbar ist, dann natürlich die Ableitung$f'(x)$ist. stetig und daher durch den Zwischenwertsatz (IVT) alle Werte zwischen seinen Grenzen erreichen. Um es noch einmal zu wiederholen, in diesem speziellen Fall , in dem unsere Funktion stetig differenzierbar ist, ja, ist der Satz von Darboux einfach die übliche IVT.

Nun, im allgemeineren Fall, wo Kontinuität von$f'(x)$nicht garantiert ist, können wir unsere übliche IVT nicht anwenden. Aber weil$f(x)$differenzierbar ist, können wir immer noch den Satz von Darboux anwenden, der uns das gibt, was IVT gegeben hätte, wenn er anwendbar wäre. Der Unterschied besteht natürlich darin, dass der Beweis von IVT nicht funktioniert hätte, da seine Hypothese nicht erfüllt war, aber der Beweis von Darboux funktioniert, da er andere Anforderungen als IVT hat.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Sie, wenn Sie eine Funktion haben und wissen, dass es sich um eine Ableitung einer Funktion handelt, dank Darboux das Ergebnis von IVT auch dann erhalten können, wenn diese Funktion selbst nicht stetig ist. Falls die Funktion kontinuierlich ist, können Sie IVT natürlich direkt verwenden, ohne sich darum zu kümmern, ob diese Funktion eine Ableitung einer Funktion ist oder nicht.

PS Ich entschuldige mich für Redundanzen, aber ich wollte sicherstellen, dass ich die Sprachlücke überwinde.