Über die Existenz allgemeiner Punkte in der Ebene mit einem Gerät
Mich interessiert folgendes Problem:
Jupiter ist ein Gerät, das, wenn zwei verschiedene Punkte gegeben sind$U$und$V$in der Ebene zeichnet Jupiter die Mittelsenkrechte von$UV$. Wenn drei Linien, die ein Dreieck bilden, gezeichnet werden, kann Jupiter mit diesem Gerät, einem Bleistift und ohne andere Werkzeuge jeden Punkt in der Ebene des Dreiecks markieren? Lässt sich ein Punkt mit dem Gerät und einem Stift markieren, nennen wir ihn Jupiterpunkt. Wie kann man also feststellen, ob ein Punkt ein Jupiterpunkt ist oder nicht?
Es ist ziemlich leicht zu sehen, dass wir den Umkreismittelpunkt des Dreiecks zeichnen können, indem wir einfach den Schnittpunkt der senkrechten Winkelhalbierenden der Seiten des Dreiecks betrachten. Dies gibt uns auch die Mittelpunkte der Seiten des Dreiecks! Außerdem können wir auch den Umkreismittelpunkt des mittleren Dreiecks mit Jupiter konstruieren und somit auch den Neun-Punkte-Mittelpunkt des Dreiecks zeichnen! Ab ELMO 2020 P3 können wir auch den Orthomittelpunkt des Dreiecks darstellen. Ich frage mich jedoch, ob es möglich ist, alle Punkte in der Ebene zu lokalisieren.
Von oben ist das klar$H, N_9, M_{AB},M_{BC},M_{CA}$sind Jupiterpunkte. Ich bin mir jedoch nicht ganz sicher, wie ich für einen allgemeinen Punkt in der Ebene trainieren soll.
BEARBEITEN: Nun, wir können nicht alle Punkte in der Ebene markieren, wie von @lulu angegeben, da die Ebene nicht zählbar ist. Ich interessiere mich jedoch für einen Algorithmus, der uns sagen könnte, ob es möglich ist, einen bestimmten Punkt in der Ebene mit dem Gerät zu markieren oder nicht.
Jede Hilfe wird sehr geschätzt!
Antworten
Keine vollständige Antwort, aber ein ziemlich guter Anfang
Vorschau : Für mindestens ein Dreieck ist nicht jeder Punkt ein Jupiterpunkt, nach elementaren Argumenten. Und wir liefern einen Test, der schlüssig zeigt, dass ein Punkt kein Jupiterpunkt für dieses Dreieck ist (aber für den Fall, dass der Test fehlschlägt, zeigen wir nicht, dass der Punkt ein Jupiterpunkt ist) .
Betrachten Sie den Spezialfall wo$A$ist der Ursprung und$B = (1,0)$und$C = (0, 1)$.
Nenne eine rationale Zahl$n/k$in niedrigsten Begriffen „ 2-rational “, wenn$k$ist eine Macht von$2$. (Und falls Sie sich fragen,$0$ist 2-rational). Ein Punkt ist 2-rational , wenn seine Koordinaten beide 2-rationale Zahlen sind. Eine Gerade ist 2-rational , wenn sie zwei verschiedene 2-rationale Punkte enthält.
Alle "markierten" Punkte (an dieser Stelle nur$A,B,C$sind 2-rational. Und alle Linien sind offenbar auch 2-rational.
Lemma : (Beweis bleibt dem Leser überlassen) Summen und Produkte von 2-rationalen Zahlen sind wieder 2-rational.
Kleiner Satz : Wenn$\ell$eine 2-rationale Gerade ist, dann kann sie als Nullmenge einer Gleichung ausgedrückt werden$$ ax + by + c = 0 $$wo$a, b,c$sind alle 2-rational.
Beweis: Wir wissen$\ell$enthält verschiedene 2-rationale Punkte$A = (p, q)$und$B = (r, s).$Pflücken$a = (q-s), b = (r - p), c = ps - qr$, wir sehen das$A$erfüllt$ax + by + c = 0$, zum\begin{align} ax + by + c &= (q-s)p + (r-p) q + ps - qr \\ &= qp-sp + rq-pq + ps - qr \\ &= -sp + rq + ps - qr \\ &= 0 \end{align}und ähnlich für$B$.
Somit sind alle Punkte und Linien in der ursprünglichen Zeichnung 2-rational, und die Linien haben 2-rationale Linienkoeffizienten.
Ob$\ell$und$m$unterschiedliche, nicht parallele Linien sind und beide 2-rational sind, dann ihr Schnittpunkt$C$ist ein 2-rationaler Punkt. Der Beweis ähnelt dem Beweis des kleinen Satzes.
Daher sind auf jeder Konstruktionsebene alle Linien und alle markierten Punkte 2-rational.
Somit ist zumindest bei diesem Dreieck die Menge der konstruierbaren Punkte recht klein im Vergleich zur Menge aller Punkte der Ebene.
Ist jeder 2-rationale Punkt aus diesem Dreieck konstruierbar? Ich vermute es, aber ich habe nicht den Willen oder die Energie, es zu beweisen. Eine Konstruktion, mit der man den euklidischen Algorithmus in irgendeiner Form ausführen kann (um jeden möglichen Zähler zu konstruieren), ist alles, was wirklich benötigt wird.
Also der versprochene "Test" für einen Punkt$A = (r, s)$ist das:
Wenn entweder$r$oder$s$ist dann irrational$A$ist kein Jupiterpunkt.
Drücken Sie jeweils aus$r$und$s$als Bruchteil in niedrigsten Termen. Wenn einer der Nenner keine ganzzahlige Potenz von ist$2$, dann$A$ist kein Jupiterpunkt.
Wenn beide Schritte 1 und 2 fehlschlagen, kann (noch) kein Fazit gezogen werden.