Umlaufbahn mit Absturz

Question

Nehmen wir an, ich schieße ein Objekt von einem hohen Turm horizontal zur Erdoberfläche. Soweit ich weiß, werde ich je nach Geschwindigkeit verschiedene Arten von Umlaufbahnen erhalten. Mit abnehmender Geschwindigkeit gehe ich von

1. hyperbolische Umlaufbahn, in der der Brennpunkt der Erdmittelpunkt ist
2. parabolische Umlaufbahn, in der der Brennpunkt der Erdmittelpunkt ist
3. elliptische Umlaufbahn, in der der Erdmittelpunkt der Brennpunkt ist , der dem Turm am nächsten liegt
4. Kreisbahn, in der der Erdmittelpunkt der Mittelpunkt des Kreises ist
5. Absturzbahn

Meine Frage bezieht sich auf die letzte Umlaufbahn. Wenn die Erde für das geworfene Objekt transparent war, ...

Wäre die Umlaufbahn 5 eine Ellipse, bei der sich der Erdmittelpunkt im Brennpunkt befindet, der am weitesten vom Turm entfernt ist ?

Answer 1

Die Antwort lautet ja , obwohl es in Ihrem Fall keinen Sinn macht, von "Umlaufbahn" zu sprechen, wenn das Objekt auf der Oberfläche des Planeten abstürzt.

Als Gedankenexperiment können Sie sich die Erde jedoch als Punktteilchen vorstellen und Ihr Objekt im Weltraum weit von der Oberfläche abschießen. Wenn sich seine Flugbahn nach unten "biegt", trifft sie nicht auf die Erdoberfläche und kann sich ausbreiten.

Dies ist am besten in der folgenden Abbildung veranschaulicht von hier , wo der blaue Planet würde mein „punktförmigen“ Erde sein:

Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass bei sphärisch symmetrischen Vakuumlösungen, bei denen GR-Effekte wichtig sind, das Newtonsche Potential korrigiert wird, was tatsächlich zu einer innersten stabilen Kreisbahn führt ($R_{\text{ISCO}}$), unter denen sich stürzende Bahnen befinden .

Answer 2

transparent für das geworfene Objekt

Erwähnenswert ist hier eine Alternative zu Punktmassenbahnen. Angenommen, die Erde war für das Objekt buchstäblich transparent, aber die gesamte Masse war immer noch da, verteilt über das gesamte Volumen.

Unter der Annahme einer gleichmäßigen Dichte haben wir jetzt ein zentrales Kraftfeld, zu dem die Schwerkraft proportional ist $r^1$ aufgrund des Shell-Theorems im Gegensatz zum Punkt-Masse-Fall, bei dem die Schwerkraft proportional zu ist $r^{-2}$.

Solche Kraftfelder haben auch stabile periodische Bahnen (tatsächlich der einzige andere Exponent als $r^{-2}$ das hat sie), aber mit einigen bemerkenswerten Unterschieden.

• Alle Umlaufbahnen sind ohne Ausnahme elliptisch, da es keine Fluchtwege geben kann.
• Elliptische Bahnen haben den Erdmittelpunkt in ihrem geometrischen Zentrum und nicht in einem Brennpunkt, was bedeutet, dass Sie wieder an der Oberfläche auf der gegenüberliegenden Seite des Planeten landen.

In der Praxis ist die Dichte der Erde jedoch nicht einheitlich, so dass wir keine ordentliche haben $r^1$ Kraftfeld für Tunnelbahnen.