Variation der Metrik

Question

Ich betrachte die Ableitung der Einstein-Feldgleichungen als Euler-Lagrange-Gleichungen der Hilbert-Funktion. Dazu beginnt man mit einer Variation$$ g(t) = g+th $$ der Metrik, wo $h$ist ein symmetrischer 2-kovarianter Tensor. Für kleine$t$, $g(t)$ wird invertierbar sein (wenn wir es als Matrix interpretieren), daher ist es sinnvoll, die Komponenten zu berücksichtigen $g(t)^{ij}$der Umkehrung. Wir haben$$ 0 = \frac{d}{dt}\Big|_0 (g(t)_{ij} \, g(t)^{jk}) = h_{ij} g^{jk} + g_{ij}h^{jk} \quad\Rightarrow \quad h^{lk} = - g^{il} g^{jk} h_{ij}. $$ Meine Frage: Was genau machen die Koeffizienten$h^{lk}$ vertreten?

Ich dachte immer, wenn man einen 1-kovarianten Tensor hat $A = A_i dx^i$, dann $A^i$ bezeichnen die Komponenten des 1-kontravarianten Tensors $A^\#$(vgl. musikalische Isomorphismen ), gegeben durch$A^i = g^{ij}A_j$. Aber in der Formel für$h^{lk}$ oben haben wir auch ein Minuszeichen vor, soweit ich die Koeffizienten sehen kann $h^{lk}$ werden nicht durch Erhöhen der Indizes von erhalten $h_{lk}$. Davon abgesehen ist die Metrik in diesem Fall nicht wirklich festgelegt, so dass die musikalischen Isomorphismen auch nicht festgelegt sind, was für mich Verwirrung stiften kann.

Answer 1

Dein Fehler ist das $$h^{jk} \neq \frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{jk}.$$Tatsächlich, $h^{jk}$ wird durch Erhöhen beider Indizes von erhalten$h_{jk}$. Was Sie gezeigt haben, ist das$$\frac{d}{dt}\bigg|_{t=0} g(t)^{\ell k} = -g^{i\ell}g^{jk}h_{ij} = - h^{\ell k}.$$Die Philosophie dahinter ist: Sie wissen, dass die Anfangsgeschwindigkeit der Kurve $t\mapsto g(t)$ ist $h$, und Sie möchten die Anfangsgeschwindigkeit anderer geometrischer Objekte berechnen, die mit verknüpft sind $g(t)$ bezüglich $h$. Die Anfangsgeschwindigkeit der Kurve der inversen Koeffizienten beträgt$-h$ (bis zu musikalischen Isomorphismen).

Mit Koeffizienten beschäftigen Sie sich mit Matrix-Lie-Gruppen. Dort die Formel für die Ableitung der Inversion$\iota(A)=A^{-1}$ ist gegeben durch $d\iota_A(H) = - A^{-1}HA^{-1}$, also ist alles in Ordnung (vergleiche mit $(1/x)'=-1/x^2$und mach es nicht kommutativ; jeder$A^{-1}$ entspricht dem Erhöhen eines Index).