VECM, das ein I (0) -System darstellt?

Question

Ich beziehe mich auf Johansen (1991), wo er a$p$-dimensionaler autoregressiver Ordnungsprozess $k$

$$ X_t = \sum_{i=1}^{k} \Pi_i X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{1}\label{1} $$

geschrieben in Vektorfehlerkorrekturform

$$ \Delta X_t = \Pi X_{t-1} \ + \ \sum_{i=1}^{k-1} \Gamma_i \Delta X_{t-i} \ + \ \epsilon_t \tag{2}\label{2} $$

wo $\Pi = \sum_{i=1}^k \Pi_i \ - \ I$ und $\Gamma_i = - \sum_{j=i+1}^k \Pi_j$.

Er gibt ohne Hinweis oder Beweis an, dass, wenn die $\ p\times p \ $ Matrix $\Pi$ hat dann vollen Rang $X_t$ ist ein stationärer Prozess.

Kann mir jemand eine Referenz geben oder kann er dies beweisen?

Answer 1

Ja, ich werde eine Referenz und eine schnelle Intuition geben. In Lutkepohls "Neue Einführung in die Analyse mehrerer Zeitreihen" (2005, S.248) erklärt er diesen vollen Rang von$\Pi$ in Gleichung (2) impliziert dies tatsächlich $X$ist stationär. Der Rang einer Matrix steht in direktem Zusammenhang mit ihrer Invertierbarkeit, Matrizen mit vollem Rang sind invertierbar und Matrizen mit niedrigerem Rang sind singulär. Dies ist offensichtlich, wenn Sie sich die Determinante als das Produkt der diagonalen Elemente der reduzierten Matrix vorstellen, wenn sie nicht den vollen Rang hat, ist mindestens ein Element in diesem Produkt Null, wodurch die Determinante Null wird. Die Umkehrbarkeit von$\Pi$hat mit der Stabilität von zu tun$\Pi$, was wiederum Stationarität impliziert.