vollständig positive und kontraktive Order Zero Maps

Question

Lassen $A$ und $B$ Sein $C^*$-Algebren so, dass $A$ ist unital und lassen $\phi: A\rightarrow B$sei eine cpc order zero map. Dann$\phi$ ist ein $*$-Homomorphismus genau dann, wenn $\phi(1_A)$ ist eine Projektion.

Schon seit $\phi$ ist eine Nullkarte mit CPC-Ordnung, das wissen wir $\phi(ab)\phi(1_A)=\phi(a)\phi(b)$ für alle $a,b \in A$. Wenn$\phi$ ist ein $*$-Homomorphismus, es ist offensichtlich, dass $\phi(1_A)$ist eine Projektion. Wie kann man die andere Richtung beweisen?

Answer 1

Aus der Identität $\phi(ab)\phi(1_A)=\phi(a)\phi(b)$es genügt, das zu zeigen $\phi(a)\phi(1_A)=\phi(a)$ für alle $a$. Da positive Elemente überspannen$A$Es reicht aus, dies zu zeigen $a\geq 0$.

Beachten Sie zunächst, dass $\phi(1_A)$ pendelt mit $\phi(A)$. Verwendung der$C^*$-Identität, die Tatsache, dass $\phi(1_A)$ ist eine Projektion und die Identität $\phi(ab)\phi(1_A)=\phi(a)\phi(b)$, wir erhalten \begin{align*} \|\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a)\|^2&=\|(\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a))(\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a))\|\\ &=\|\phi(a)\phi(1_A)\phi(a)\phi(1_A)-\phi(a)\phi(1_A)\phi(a)-\phi(a)^2\phi(1_A)+\phi(a)^2\|\\ &=\|\phi(a)^2-\phi(a)^2\phi(1_A)\|\\ &=\|\phi(a^2)\phi(1_A)-\phi(a^2)\phi(1_A)\|\\ &=0. \end{align*}