Volumen der polygonbasierten Pyramide

Question

Ich habe vor einigen Monaten in einem Buch gelesen, dass das Volumen einer (festen) Pyramide mit einer Basis, die JEDES Polygon ist (ich bin mir nicht sicher, ob es erwähnt wird, dass es regelmäßig ist oder nicht), gleich ist $$\frac{1}{3}\times A\times h$$ wo $A$ ist die Fläche der Basis (dh des Polygons) und $h$ ist die Höhe der Pyramide.

Dies scheint in vielen Fällen der Fall zu sein, beispielsweise wenn die Basis ein Quadrat, ein Dreieck und die Basis ein Kreis ist (dh die Pyramide wird zu einem Kegel).

Meine Frage ist, wie können wir das beweisen? Ich habe einfach keine Ahnung.

Danke für deine Hilfe.

Answer 1

Jedes Polygon kann in Dreiecke zerlegt werden $A = A_1 + \cdots + A_n$.

So, $$\begin{align} V &= V_1 + \cdots + V_n\\ &=\frac13A_1h + \cdots + \frac13A_nh\\ &=\frac13(A_1 + \cdots + A_n)h\\ &=\frac13Ah. \end{align}$$

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Für den Basisfall können Sie ein Prisma wie folgt zerlegen. Um zu sehen, dass die drei Pyramiden das gleiche Volumen haben, beachten Sie, dass die linke und die mittlere Pyramide eine blaue Basis haben und die gleiche Höhe haben. In ähnlicher Weise teilen sich die mittlere und die rechte Pyramide eine rote Basis und haben die gleiche Höhe.

Answer 2

Für den allgemeinsten Fall, in dem die Basis nicht einmal ein Polygon sein muss, ist es eine Anwendung des Cavalieri-Prinzips . Stellen Sie sich eine Pyramide mit einer blobförmigen Basis und einer quadratischen Pyramide daneben mit derselben Höhe vor, deren Basis dieselbe Fläche hat wie die der ersten Pyramide. Da jeder ebene Querschnitt der beiden Pyramiden die gleiche Fläche haben müsste, müssen auch die Volumina gleich sein.

Es gibt ein wunderbares Bild, das zeigt, dass die Fläche einer quadratischen Pyramide, deren Höhe der Basisgröße entspricht und deren Spitze über einer Ecke der Basis liegt, 1/3 des Volumens eines Einheitswürfels beträgt. Kurz gesagt, Sie können drei dieser Pyramiden konstruieren und sehen, dass sie zu einem Einheitswürfel zusammengefügt werden können. Von dort aus müssen Sie sich nur noch davon überzeugen, dass das Volumen einer Pyramide, deren Basis ein Einheitsquadrat ist, direkt proportional zur Höhe der Pyramide ist. Zu diesem Zeitpunkt haben Sie es von einer quadratischen Einheitspyramide mit Einheitshöhe zu einer quadratischen Einheitspyramide mit beliebiger Höhe zu einer beliebigen Basis und beliebiger Höhe bewiesen.