Vorteil der Phasenverschiebung beim Quantencomputing

Question

Ich bin neu im Quantencomputing.

Ich vergleiche Pauli-X-Gate und Pauli-Y-Gate als Äquivalent zu NOT-Gate in klassischen Computern. Obwohl ich nicht sicher bin, wann ich Pauli-X- und Pauli-Y-Gatter verwenden soll, unterscheiden sich die Ergebnisse nur in der globalen Phase.

Nach meinem Verständnis ändert das Phasenverschiebungsgatter (wie das Pauli-Z-Gatter) nicht die Amplitude des Qubits, sondern nur die relative Phase des Qubits auf der Blochkugel.

Ich kann den Nutzen des Phasenwechsels (global - wie bei Pauli-Y und relativ - wie bei Pauli-Z-Gate) im Quantencomputer nicht verstehen. Ich gehe davon aus, dass nur die Amplitude den beobachteten Zustand während der Messung des Qubits bestimmt.

Answer 1

Beachten Sie, dass:

$$ X |0\rangle = |1\rangle \hspace{1 cm} X|1\rangle = |0\rangle $$

aber

$$ Y |0\rangle = i|1\rangle \hspace{1 cm} Y|1\rangle = -i|0\rangle $$

So $X \neq iY$. In der Tat das Set$\{I, X, Y, Z\}$ ist eine orthogonale Basismenge für $2 \times 2$Matrizen. Sie sind nicht nur ein Faktor voneinander. Sie sind unabhängig voneinander.

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Wie für die Gesamtphase am Quantentor, $U$ vs. $e^{i\theta}U$Diese beiden sind nicht zu unterscheiden, solange Sie keine Steuerungsoperation ausführen. Das heißt, kontrolliert-$U$ ist nicht dasselbe wie kontrolliert-$e^{i\theta }U$. Dies liegt daran, dass die Phase des Ziel-Qubits auf das gesteuerte Qubit zurückgesetzt werden kann, und es ist im Wesentlichen die Funktionsweise des Quantenphasenschätzungsalgorithmus .

Answer 2

Sie können X- und Z-Gatter als "Inversion" in rechnerischen und kreisförmigen bzw. Hadamard-Basen betrachten.

Beginnen wir mit X. Das gilt auch $$ X|0\rangle = |1\rangle\,\,\,\,\,\,\ X|1\rangle = |0\rangle, $$ X ist also analog zur klassischen Negation, dh es wandelt 0 in 1 um und umgekehrt.

Anstelle von Rechenbasis $\{|0\rangle, |1\rangle\}$können Sie Qubits als Kombination von Mitgliedern der Hadamard-Basis ausdrücken $\{|+\rangle, |-\rangle\}$, wo $$ |+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle) \\ |-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) $$

Sie können das überprüfen $$ Z|+\rangle = |-\rangle\,\,\,\,\,\,\ Z|-\rangle = |+\rangle, $$

Die kreisförmige Basis besteht aus $\{|\uparrow\rangle, |\downarrow\rangle\}$( Beachten Sie, dass ich kein geeignetes Symbol für Kreispfeile finden konnte ), wo$$ |\uparrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+i|1\rangle) \\ |\downarrow\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-i|1\rangle) $$

Sie können dies erneut überprüfen $$ Z|\uparrow\rangle = |\downarrow\rangle\,\,\,\,\,\,\ Z|\downarrow\rangle = |\uparrow\rangle, $$

Alle Pauli-Tore definieren auch die Drehung um die Achsen x, y und z. Erwägen$A \in \{X,Y,Z\}$ dann Drehung um Winkel $\theta$ um die Achse $a \in \{x,y,z\}$ ist definiert als $$ R_a(\theta) = \mathrm{e}^{-i\frac{\theta}{2}A} $$Beachten Sie, dass das Exponential ein sogenanntes Matrixexponential ist .