Wahrscheinlichkeit beim Würfeln

Question

Ich kämpfe darum, eine Antwort auf das unten stehende Würfelproblem zu finden -

Ich würfle 6 mal einen fairen Würfel.

(a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass drei der sechs möglichen Ergebnisse nicht angezeigt werden und jedes der anderen drei möglichen Ergebnisse zweimal angezeigt wird?

(b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ergebnis mindestens dreimal auftritt?

Die Antwort auf die 1. Frage lautet wie folgt $$\frac{\binom{6}{3}\binom{6}{2}\binom{6}{2}\binom{6}{2}}{6^6}$$

Ich konnte jedoch keine intuitive Erklärung für die Beantwortung der beiden oben genannten Fragen finden.

Können Sie mir bitte helfen, sie zu erklären?

Jeder Zeiger wird sehr geschätzt.

Answer 1

Teil (a): Die von Ihnen angegebene Antwort ist falsch. Es sollte sein

$$ \frac{\binom{6}{3} \binom{6}{2} \binom{4}{2} \binom{2}{2}}{6^6} .$$

Hier ist eine Erklärung. Es gibt$6^6$insgesamt mögliche Ergebnisse, das ist also der Nenner. Der Zähler sollte die Anzahl der Ergebnisse sein, wenn nur$3$ Zahlen kommen während der $6$ rollt, wobei jede Zahl zweimal erscheint.

Es gibt $\binom{6}{3}$ Möglichkeiten, welche zu wählen $3$Ergebnisse zeigen sich auf den Würfeln. Angenommen, diese Ergebnisse sind$a,b,c$. Wir wollen die Buchstaben vergeben$a,a,b,b,c,c$ zu den sechs "Slots"

$$\_, \_, \_, \_, \_, \_ .$$

Es gibt $\binom{6}{2}$ Möglichkeiten zur Auswahl der Steckplätze für die beiden $a$s in. Dann gibt es $\binom{4}{2}$ Möglichkeiten, die Slots für die auszuwählen $b$s und $\binom{2}{2}$ Wege für die $c$s.

Teil (b): Hier ist ein Hinweis. Wählen Sie zunächst aus, welches Ergebnis dreimal oder öfter angezeigt wird. Berechnen Sie dann die Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ergebnis genau angezeigt wird $3$mal. Berechnen Sie dann die Wahrscheinlichkeiten, mit denen dieses Ergebnis genau angezeigt wird $4, 5, 6$mal. Summieren Sie schließlich diese Wahrscheinlichkeiten.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass dieses Ergebnis genau angezeigt wird $3$ Denken Sie mal darüber nach, zuerst Slots zuzuweisen, an denen die $3$ Kopien dieses Ergebnisses werden angezeigt, und überlegen Sie dann, wie Sie die drei verbleibenden Slots füllen können.

(Bearbeiten: Es gibt eine schwierige Feinheit für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis genau erscheint $3$mal. Sie müssen sicherstellen, dass Sie die Möglichkeiten, bei denen es zwei Ergebnisse gibt, nicht überzählen. Rufen Sie sie an$a$ und $b$, von denen jeder erscheint $3$ mal.)

Answer 2

(b) Die Wahrscheinlichkeit, etwas zu bekommen, das weniger als dreimal erscheint, ist $1-((\frac{1}{6})^6*6+(\frac16)^5(\frac56)*6*6+(\frac16)^4(\frac56)^2*6*15)=\frac{3685}{3888}$