Warum ist $1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$

Question

Sei A eine nicht quadratische Matrix. Warum ist die folgende Gleichheit wahr?

$$1 - \lambda_{\max} (\mathrm A^\top \mathrm A) = \lambda_{\min} (\mathrm I - \mathrm A^\top \mathrm A)$$

Versuch:

Da der Eigenwert einer quadratischen Matrix $X$ist der Kehrwert des Eigenwertes von $X^{-1}$, wir haben:

$$\lambda_{\max}(\mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\min}((\mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Ich habe folgendes:

$$\lambda(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = 1 - \lambda(\mathrm A^\top \mathrm A)$$

$$\lambda_{\min}(I - \mathrm A^\top \mathrm A) = \frac{1}{\lambda_{\max}((I - \mathrm A^\top \mathrm A)^{-1})}$$

Answer 1

Was Sie beweisen möchten, ist ziemlich einfach und gilt für alle quadratischen Matrizen, nicht nur für die der Form $A^TA$. $\nu$ ist ein Eigenwert von $P$ iff $1-\nu$ ist ein Eigenwert von $I-P$. Somit kann jeder Eigenwert von$I-P$ ist von der Form $\nu=1-\lambda$ wo $\lambda$ ist ein Eigenwert von $P$. Das Minimum nehmen,$\nu_\min=(1-\lambda)_\min=1-\lambda_\max$ schon seit $1-\lambda$ wird minimiert, wenn $\lambda$ ist maximal.