Warum ist $e$irrational? [Duplikat]

Question

Ich suche keinen Beweis, sondern eine Erklärung, weil ich weiß, dass etwas mit meinem Denken nicht stimmt.

Also das weiß ich $$ e = \lim_{n\to\infty} (1+\dfrac{1}{n})^n $$ Und auch $$ e = \sum_{k=0}^{\infty} \dfrac{1}{k!} $$

Und ich bin verwirrt warum $e$ kann irrational sein, da beide Definitionen eine rationale Zahl (?) sind.

Ich weiß, dass das Hinzufügen unter Rationalen geschlossen ist, daher bin ich verwirrt, da beide zu etwas mit Rationalen (z. B. Summe von Rationalen oder $(\dfrac{n+1}{n})^n$), also denke ich meine Frage ist, warum diese Rationalitäten zu einem irrationalen konvergieren?

Vielen Dank.

Answer 1

Der Fehler liegt in der Behauptung, dass „beide Definitionen eine rationale Zahl sind“. Nicht wahr. Beide drücken aus$e$als Grenze einer Folge rationaler Zahlen. Ihr Fehler liegt in der versteckten (und falschen) Annahme, dass die Grenze einer konvergenten Folge rationaler Zahlen auch rational sein muss.

Answer 2

Dass die Rationalen unter Addition geschlossen werden, bedeutet, dass die Summe von zwei beliebigen Rationalen wieder ein Rational ist. Durch Induktion können Sie beweisen, dass dies für eine endliche Anzahl von Rationalen funktioniert . Aber die Rationalitäten sind nicht unter unendlichen Summen geschlossen.

Answer 3

Nur weil jede partielle (endliche) Summe eine rationale Zahl ist, heißt das nicht, dass die Grenze ist.

Nehmen Sie als Beispiel die bekannte Konstante: $\pi = 3+0.1+0.04+...$

Jede Teilsumme ist rational, aber die Grenze ist eine bekannte irrationale Zahl.

Ebenso für jede endliche natürliche Zahl $n$, $1/n > 0$ aber die Grenze $\lim_{n\to\infty} 1/n \not > 0$.