Warum sollte diese multivariable Grenze existieren?

Question

Betrachten Sie die Grenze $$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$$

Mein Argument dafür, warum das Limit nicht existiert: Es existiert nicht entlang des Pfades $y=0$. Oder in einer anderen Ansicht:$\frac{tan^{-1}(xy)}{xy}$ ist an unendlichen Punkten in jeder Nachbarschaft von undefiniert $(0,0)$.

Bei vielen Fragen wie diesen wird die obige Argumentation jedoch ignoriert, und wir gehen mit anderen Techniken vor. (Wie folgt : Calculus Sin Limit mit zwei Variablen [Multivariable-Calculus] ) Aber wie ist das gültig? Kann die Grenze mit der undefinierten Funktion in so vielen Punkten um den gegebenen Punkt existieren?

Answer 1

Hier ist eine Definition für Grenzen:

Lassen $X,Y$ metrische Räume sein, $E\subseteq X$, $f:X\to Y$ eine Funktion sein, und $a$ ein Grenzpunkt von sein $E$. Wir sagen die Funktion$f$ hat ein Limit bei $a$ (Im Weltall $Y$) wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

• Es gibt $l\in Y$ so dass für jeden $\epsilon>0$gibt es eine $\delta>0$ so dass für alle $x\in E$, wenn $0 <d_X(x,a)< \delta$ dann $d_Y(f(x), l) < \epsilon$.

In diesem Fall können wir beweisen $l$ ist einzigartig und wir schreiben $\lim\limits_{x\to a}f(x) = l$

Beachten Sie bei dieser Formulierung von Grenzwerten die Funktion $f$ muss nicht für den gesamten Raum definiert werden $X$. Es muss nur für eine bestimmte Teilmenge definiert werden$E$ (Es ist sehr gut möglich, dass $X\setminus E$ist eine unendliche Menge, aber das spielt keine Rolle). Darüber hinaus ist der Punkt,$a$, wo wir das Limit berechnen, muss nicht einmal ein Element von sein $E$;; wir brauchen nur$a$ ein Grenzpunkt von sein $E$.

In Ihrem Fall nehmen wir $X=\Bbb{R}^2, Y= \Bbb{R}$ (beide mit den üblichen euklidischen Metriken) und $E = \{(x,y)\in\Bbb{R}^2| \, xy \neq 0\}$. In diesem Fall definieren wir$f:E\to Y= \Bbb{R}$ durch $f(x,y) = \frac{\arctan(xy)}{xy}$und der Punkt $(0,0)$ ist sicherlich ein Grenzpunkt der Menge $E$. Daher können wir sicherlich versuchen, das Limit zu berechnen (und in diesem Fall existiert das Limit und ist gleich$1$... wenn Sie mehr darüber benötigen, lassen Sie es mich wissen)