Was bedeutet das Volumen des dynamischen Systems?
https://en.wikipedia.org/wiki/Dynamical_systemerklärt, dass das Volumen des Zustandsraums oder Phasenraums unveränderlich ist. Die Vorlesungsnotiz mit dem Titel "11 seltsame Attraktoren und Lyapunov dim." entnommen aus dem Buch Strogatz zeigt in Gleichung (2) eine Koordinatentransformation des Volumens. Ich möchte verstehen, ob der in der Anmerkung gezeigte Beweis bedeutet, dass das Volumen von Systemen mit seltsamem Attraktor bei einer Transformation wie der Koordinatentransformation unveränderlich ist. Durch Koordinatentransformation können wir die Phasenraumrekonstruktion erzeugen und damit einen seltsamen Attraktor erhalten . Bei richtiger Wahl der Parametereinstellung für das chaotische dynamische System können wir das Seltsame sehen. Aber ich kann den Beweis nicht verstehen.
Frage: Kann jemand bitte zeigen, wie man beweist, dass das Volumen für Systeme mit seltsamen Attraktoren für die Transformation unveränderlich ist und was dies bedeutet.
Schrumpft oder dehnt sich das Volumen an seltsamen Attraktoren aus?
UPDATE: 18. August
Basierend auf der Diskussion unter den Kommentaren konnte ich dies aus allem heraus schreiben, was ich verstehen konnte. Wir werden uns über Hilfe bei der eleganten Fertigstellung des Korrekturschreibens freuen.
Beweis: Das Volumen des seltsamen Attraktors, das von Systemen in chaotischer Dynamik gezeigt wird, ist unter einer gewissen Transformation unveränderlich und ein Maß oder eine Metrik.
Meine Idee ist das, lass $n_a$ die Attraktordimension sein und $d$ sei die Einbettungsdimension und der Attraktor hat ein Volumen $v$ mit einer Attraktordimension $n_a$. Wenn skalarwertige Zeitreihen verfügbar sind, können wir den Attraktor in rekonstruieren$d$ dimensionaler Phasenraum durch Takens 'Verzögerungseinbettungsmethode, $d \ge 2n+1$ wo $n$ist die Dimension des beobachteten Systems. Wir kennen den tatsächlichen Wert von nicht$n_a$. Da für dissipative Systeme Volumen$v \le 0$, dann und nur dann, wenn $n \le n_a$und ist gleich Null, da seine Abmessung kleiner als ist $n_a$. Daher behält jedes dissipative System das Volumen des Attraktors bei, das Null ist. Was die Änderung der Koordinaten betrifft, so ist das Bild des Attraktors unter jeder glatten Karte auch Maß Null, da der Attraktor ein Maß-Null-Satz ist.
Wie beweise ich nun, dass der Attraktor ein Maß ist, das auf Null gesetzt ist, und eine Metrik wie das Lebesgue-Maß ist? Kann jemand bitte helfen, diesen Beweis formell zu schreiben? Vielen Dank.
Antworten
Wenn sie Volumen sagen, meinen sie wirklich "messen". Ein Maß für einen Raum$X$ ist eine Funktion $\mu$ das weist Längen (oder Bereiche oder Volumina oder Wahrscheinlichkeiten - den spezifischen Raum zu $X$ oder der Kontext bestimmt normalerweise, wie Sie denken, was das Maß ist, na ja, messen) zu "netten" Themen von $X,$ wobei "nett" bedeutet, dass vorher jemand einige Untergruppen von ausgewählt hat $X$dass wir messen können. Diese werden als messbare Mengen bezeichnet.
Eine Landkarte $T : X\rightarrow X$ wird gesagt, dass $\mu$-invariant wenn (a) wann immer $S$ ist messbar, so ist $T^{-1}(S)$, und B) $\mu(T^{-1}S) = \mu(S)$ wann immer $S$ ist messbar.
Wie man es überprüft, hängt stark von den Einzelheiten ab. Ein unglaublich häufiger und hilfreicher Trick besteht darin, dass Sie nicht überprüfen müssen, ob die Bedingungen (a) oder (b) für jede messbare Teilmenge gelten - wenn Sie (a) und (b) für eine Gruppe von Mengen prüfen, die "generiert". die Sammlung messbarer Mengen, dann können Sie daraus schließen, dass es überall gilt. Zum Beispiel, wenn Ihr Platz war$X = [0, 1]$ mit dem üblichen "Lebesgue-Maß", das eine Teilmenge von zuweist $X$ es ist Länge, es würde ausreichen, das zu überprüfen $T$ bewahrt Intervallmaße.
Ein paar Dinge:
- Beachten Sie den Hinweis unter Gleichung 2:
Dissipative Systeme haben Attraktoren, während volumensparende Systeme weder Attraktoren noch Repeller haben können.
Dies gilt in dem Sinne, in dem "Volumen" das Lebesgue-Maß bedeutet, dh die normale Definition des Volumens auf $\mathbb{R}^n$. Attraktoren haben notwendigerweise eine geringere Dimension als der Phasenraum selbst, daher muss sein Volumen (im Sinne von Lebesgue) 0 sein; zB das Volumen einer Oberfläche in$\mathbb{R}^3$ist 0, da die Oberfläche zweidimensional ist. Vielleicht ist diese Erhaltung des Volumens trivial, weil der Attraktor notwendigerweise das Lebesgue-Volumen Null hat.
Das scheint also Ihre Frage auf den ersten Blick zu beantworten. Die Dynamik bei seltsamen Attraktoren ist jedoch in der Regel ergodisch. Dies ist der Abschnitt, den Sie im ersten Wikipedia-Artikel lesen. Ergodische Dynamik hat typischerweise ein sogenanntes invariantes Maß , was bedeutet, dass es einen Begriff von Volumen (das Maß) gibt, der durch die Dynamik (invariant) erhalten bleibt. Wenn man also den Attraktor parametrisieren kann, dh eine Koordinatenänderung von finden kann$\mathbb{R}^n$ für den Attraktor bleibt dann tatsächlich "Volumen" im Sinne des unveränderlichen Maßes des Attraktors und der Dynamik erhalten.