Was ist eigentlich eine Infinity-Kategorie?
Mich interessiert genau, welche Informationen eine Infinity-Kategorie codiert. Betrachten Sie zum Beispiel die Unendlichkeitskategorie von Räumen. Ich stelle mir das gerne als die Homotopiekategorie von Räumen vor, die mit einer zusätzlichen Struktur ausgestattet sind, die aus dem simplizialen Mengenmodell stammt, das es uns ermöglicht, Homotopiegrenzen usw. zu berechnen. Meine (eher vage) Frage lautet:
- Wie einzigartig ist diese Struktur? Mit anderen Worten, gibt es bei einer gegebenen Homotopiekategorie eine kanonisch zugeordnete Unendlichkeitskategorie?
- Kodieren Unendlichkeitskategorien dementsprechend irgendwelche Informationen, die in der Natur nicht-homotopisch sind (damit meine ich Informationen, die nicht aus der Homotopie-Kategorie erhalten werden können)? Wenn ja, was?
Antworten
Ich denke, es ist nützlich, ein viel niederdimensionaleres Analogon Ihrer Frage in Betracht zu ziehen, das (zumindest für mich) viel einfacher intuitiv zu begründen ist, aber dennoch einen Teil der Botschaft vermittelt.
Lass uns vergleichen$0$-Kategorien (dh Sets) und$1$-Kategorien (dh Kategorien) basierend auf dem, was sie codieren können.
- a$0$-category ist nur eine Klasse von Objekten. Zwei Objekte von a$(0,1)$-Kategorie sind genau dann äquivalent , wenn sie gleich sind (das ist die$0$-kategoriale Kürzung der Äquivalenz), und über die Objekte lässt sich eigentlich nichts mehr sagen.
- a$1$-Kategorie ist eine$0$-Kategorie (schwach) angereichert in$(0,0)$-Kategorien (dh Mengen), was es uns ermöglicht, feinfühliger zu sein, wie sich ein Objekt auf ein anderes bezieht; insbesondere erlauben uns Morphismen, die Struktur der Objekte zu beschreiben, und$1$-kategoriale Sprache adressiert also Eigenschaften von Objekten hinsichtlich ihrer Struktur. Genauer gesagt, zwei Objekte von a$1$-Kategorie sind genau dann äquivalent, wenn sie isomorph sind (dh sie haben die gleiche Struktur), und$1$-kategoriale Konstruktionen (wie co/limits) sind bis auf Isomorphie definiert.
Angenommen$1$-Kategorie$\def\cC{\mathcal C}$ $\cC$, können wir seine Homotopie definieren$0$-Kategorie $\def\Ho{\operatorname{Ho}}$ $\Ho\cC$als die$0$-Kategorie, deren Objekte Isomorphismus Klassen von Objekten sind$\cC$. Dies dient der effektiven Präsentation von$\cC$mit einer$0$-Kategorie in dem Sinne, dass Objekte von$\cC$sind genau dann isomorph, wenn die entsprechenden Objekte in$\Ho\cC$sind gleich.
Wir können jedoch auch sehen, dass dies schwierig zu rekonstruieren ist, selbst kanonisch, da es sich um mehrere Nicht-Äquivalente handelt$1$-Kategorien können die gleiche Homotopie haben$0$-Kategorie. Der schnellste Weg, dies zu sehen, ist, zu beachten, dass a$0$-Kategorie$X$kann man sich vorstellen als$1$-Kategorie mit nur Identitätsmorphismen, und in diesem Fall$\Ho X=X$; insbesondere gegeben$1$-Kategorie$\cC$, seine Homotopie$0$-Kategorie$\Ho\cC$ist auch eine Präsentation der$0$-Kategorie$X := \Ho\cC$ angesehen als ein$1$-Kategorie . Welche von$\cC$und$X$wäre eine geeignetere Wahl eines "canonical$1$-Kategorie" zugeordnet$\Ho\cC$?
Darüber hinaus ist es, wie in den Kommentaren erwähnt, fast unmöglich durchzuführen$1$-kategorische Konstruktionen in der Homotopie$0$-Kategorie: die einzigen Diagramme$F:J\to\Ho\cC$die Grenzen haben, sind konstante Diagramme. Selbst wenn wir den Grenzwert eines Funktors berechnen würden$F:J\to\cC$wobei alle Objekte im Diagramm zueinander isomorph waren (d. h. die induzierte Karte$F:\operatorname{Ob}J\to\Ho\cC$ist eine konstante Abbildung), so dass der Grenzwert in der Homotopie$0$-Kategorie existiert, die Grenze in$\Ho\cC$muss überhaupt nicht mit der Grenze in zusammenhängen$\cC$. Zum Beispiel das kartesische Produkt$X\times X$ist im Allgemeinen nicht isomorph zu$X$, aber die Grenze in der entsprechenden Karte$\{\bullet\,\,\,\bullet\}\to\Ho\cC$(was eine konstante Abbildung ist) wird immer die Isomorphismusklasse von sein$X$.
Die Geschichte ist ähnlich für$(\infty,1)$-Kategorien. Da diese als Kategorien gedacht werden können, die in Räumen schwach angereichert sind (bzw$\infty$-Gruppoide), können wir sogar noch vorsichtiger sein, wenn wir Objekte vergleichen. So wie sich die Kategorien um die Struktur der Gegenstände kümmern,$(\infty,1)$-Kategorien befassen sich mit der homotopischen kohärenten Struktur von Objekten. Zum Beispiel:
- Betrachten Sie die topologischen Räume$\Bbb R$,$(0,1)$, und$\{0\}$. Wenn wir sie anschauen$0$-kategorisch (in der$0$-Kategorie$\mathbf{Top}_0$von topologischen Räumen), dann sind sie alle völlig verschieden, da sie aus verschiedenen Elementen bestehen. Wenn wir sie anschauen$1$-kategorisch (in der$1$-Kategorie$\mathbf{Top}$von topologischen Räumen und kontinuierlichen Karten), dann$\Bbb R$und$(0,1)$sind gleich, weil sie die gleiche topologische Struktur haben, aber sie unterscheiden sich von$\{0\}$weil sie nicht bijektiv gesetzt werden können. Schließlich, wenn wir sie betrachten$(\infty,1)$-kategorisch, dann sind alle drei Objekte gleich, da sie auf einen Punkt zusammengezogen werden können.
- Betrachten Sie in ähnlicher Weise die Kategorien$\mathbf{FinSet}$von endlichen Mengen und ihrer vollständigen Unterkategorie$\mathbf{FinOrd}$auf endlichen Ordnungszahlen. Sie sind als Kategorien nicht isomorph, weil erstere eine richtige Klasse von Objekten hat, während letztere eine Menge hat und daher nicht in Bijektion gebracht werden kann; Sie sind jedoch als Kategorien äquivalent, da wir die Objekte von kontrahieren können$\mathbf{FinSet}$zusammen durch Bijektionen zusammen (durch ihre Kardinalitäten) und finde das$\mathbf{FinOrd}$ist das Skelett von$\mathbf{FinSet}$
Dem können wir uns durchaus anschließen$(\infty,1)$-Kategorie$\def\sC{\mathscr C}$ $\sC$eine Homotopiekategorie$\Ho\sC$, wo Objekte von$\Ho\sC$sind genau dann isomorph, wenn sie in gleich sind$\sC$, aber wir sehen das gleiche Problem, wenn wir versuchen, dies zurückzuentwickeln. Nach wie vor eine Kategorie$\cC$kann als gedacht werden$(\infty,1)$-Kategorie, in der alle höheren Zellen trivial sind, und in diesem Fall$\Ho\cC=\cC$, also gegeben an$(\infty,1)$-Kategorie$\sC$, seine Homotopie-Kategorie ist auch eine Präsentation der Kategorie$\cC := \Ho\sC$ angesehen als ein$(\infty,1)$-Kategorie .
Darüber hinaus sind Rechengrenzen in$\Ho\sC$wird nichts darüber aussagen, wie man Grenzen berechnet$\sC$. Betrachten Sie zum Beispiel die$(2,1)$-Kategorie$\mathbf{Cat}$von (kleinen) Kategorien, Funktoren und natürlichen Isomorphismen, betrachtet als eine$(\infty,1)$-Kategorie. Dann seine Homotopiekategorie$\Ho\mathbf{Cat}$hat tatsächlich keine Pullbacks, was hier gezeigt wird . Die Unterscheidung zwischen Homotopie-Grenzen im Allgemeinen und Grenzen in der entsprechenden Homotopie-Kategorie wird auch hier betont , wobei sie betonen, dass selbst wenn die Grenze in$\Ho\sC$vorhanden ist, muss sie nicht der Grenze in entsprechen$\sC$.
In bestimmten Fällen können Sie eine vorlegen$(\infty,1)$-Kategorie mit a$1$-Kategorie mit zusätzlicher Struktur ausgestattet, damit Sie damit arbeiten können$1$-kategorische Sprache, um die Struktur der zu diskutieren$(\infty,1)$-Kategorie, die es darstellt, und Sie können die möglicherweise sogar wiederherstellen$(\infty,1)$-Kategorie kanonisch. Zum Beispiel, wenn$\sC$ist lokal vorzeigbar$(\infty,1)$-category , dann können Sie es mit einer kombinatorischen simplizialen Modellkategorie darstellen$\cC$. Dann Grenzen rein$\sC$entsprechen den Homotopiegrenzen in$\cC$, und sie haben sogar die gleichen Homotopiekategorien. Außerdem können Sie sich erholen$\sC$indem (zum Beispiel) der Homotopie kohärenter Nerv der einfach angereicherten Unterkategorie von genommen wird$\cC$auf den kofibranten fibranten Objekten, also gibt es in diesem Sinne auch einen kanonischen Weg, rückwärts zu gehen.