Weil Restriction and Distinguished Opens
Ich habe ein paar verwandte Fragen zu Weil Restriction. Lassen$E/F$ sei eine Felderweiterung und lass $A$ Bohne $E-$Algebra. Angenommen, alle relevanten Einschränkungen von Skalaren existieren. Wir haben eine Normkarte$n: A \rightarrow RA$. Ich möchte das für zeigen$f \in A$ wir haben $R(A_f) \simeq (RA)_{n(f)}$ (Dies ist Problem 11.4.7 (6) in Springers linearen algebraischen Gruppen).
Mit Funktion, gegeben die Karte $A \rightarrow A_f$Wir haben eine induzierte Karte $RA \rightarrow R(A_f)$ und seit $n(f) \in RA$ ist auf etwas invertierbares in abgebildet $R(A_f)$durch universelle Eigenschaften der Morphismus $RA \rightarrow R(A_f)$ Faktoren durch $(RA)_{n(f)} \rightarrow R(A_f)$. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie ich hier vorgehen soll.
Eine einheitlichere Perspektive geben hier wahrscheinlich die Funktoren von Punkten und relativem Denken. Also hier über ein Basisschema arbeiten$S' \rightarrow S$, für ein $S$-planen $Y$ und ein $S'$-planen $X$ wir haben
$Hom_{S'}(Y \times_S S', X)=Hom_S(Y, \Pi_{S'/S}X).$
Darüber hinaus wissen wir in dieser Einstellung, dass Skalierungsbeschränkungen mit Basisänderungen einhergehen. Meine Frage ist also: Wie ist die schematische Formulierung der obigen Frage? Lassen$X=Spec(A)$ Bohne $S'$planen. Dann ist mein Eindruck, dass das Basisänderungsdiagramm für die Lokalisierung wäre$Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)$.
Dann haben wir durch ein einfaches Argument
$\Pi_{S'/S}(Spec(A_f) \times_{S'} Spec(A)) \simeq \Pi(Spec(A_f)) \times_{\Pi(S')} \Pi(Spec(A))$.
Obwohl es nah zu sein scheint, kann ich nicht ganz herausfinden, ob dies das richtige Analogon zu der obigen Aussage ist. Außerdem scheint es, dass ich hier überhaupt nicht die Normkarte einführe oder irgendwelche universellen Eigenschaften bezüglich der Lokalisierung verwende, also bin ich mir nicht sicher.
Bitte lassen Sie mich wissen, wenn Sie Kommentare haben oder wenn ich etwas klarstellen sollte.
Antworten
$\newcommand{\Res}{\mathsf{Res}}$ $\newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}$$\ newcommand {\ Hom} {\ mathrm {Hom}} $
Ich möchte Ihnen eine Möglichkeit nennen, darüber nachzudenken, die ich für lehrreich halte. Ich hoffe, Sie fühlen sich ähnlich, obwohl es höchstwahrscheinlich außerhalb des Zuständigkeitsbereichs dessen liegt, worüber Springer tatsächlich spricht.
Nehmen wir der Einfachheit halber an, dass $ E / F $ Galois ist, und bezeichnen wir mit $ \ Gamma $ die Gruppe $ \ mathrm {Gal} (E / F) $, und wir bezeichnen ein allgemeines Element von $ \ Gamma $ by $ \ sigma $ oder $ \ tau $ .
Beginnen wir damit, für alle $ \ sigma $ in $ \ Gamma $ die $ E $ -Algebra zu definieren
$$ A ^ \ sigma: = A \ otimes_ {E, \ sigma} E $$
wobei diese Notation bedeutet, dass wir das Tensorprodukt von $ E $ -Algebren nehmen, wobei $ E \ bis A $ die Strukturkarte und $ E \ bis E $ die durch $ \ sigma $ gegebene Karte ist . Wir betrachten dies als $ E $ -Algebra, indem wir $ e (a \ otimes b) definieren: = a \ otimes (eb) $ .
Beachten wir, dass wir eine Karte mit $ F $ -Algebren haben
$$ \ sigma: A \ bis A ^ \ sigma: a \ mapsto a \ otimes 1 $$
Beachten Sie jedoch, dass diese Karte nicht $ E $ -linear ist. Eigentlich,
$$ \ sigma (ea) = (ea) \ otimes 1 = a \ otimes \ sigma (e) = \ sigma (e) (a \ otimes 1) $$
also $ \ sigma: A \ bis A ^ \ sigma $ ist $ \ sigma $ -linear.
Wir betrachten nun die $ E $ -Algebra
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma}: = \ bigotimes _ {\ sigma \ in \ Gamma_F} A ^ \ sigma $$
wobei das Tensorprodukt auf der rechten Seite ein Tensorprodukt von $ E $ -Algebren ist. Wir werden einen allgemeinen einfachen Tensor in $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ mit $ \ displaystyle \ bigotimes a_ \ sigma $ bezeichnen (dh die $ \ sigma ^ \ text {th} $ -Koordinate im einfachen Tensor ist $ a_ \ sigma $ ). Beachten Sie, dass $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ eine natürliche $ \ Gamma $ -Aktion trägt, indem die Koordinaten permutiert werden oder genauer gesagt:
$$ \ tau \ left (\ bigotimes a_ \ sigma \ right) = \ bigotimes b_ \ sigma, \ qquad b _ {\ tau \ sigma} = a_ \ sigma $$
Beachten Sie, dass die Aktion von $ \ Gamma $ nicht $ E $ linear ist, sondern $ F $ -linear.
Betrachten wir nun die $ F $ -Algebra $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} $ - die $ \ Gamma $ -fixierten Punkte von $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ . Wir haben eine offensichtliche Einbeziehung von $ F $ -Algebren
$$ \ iota: (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ hookrightarrow A ^ {\ otimes \ Gamma} $$
Weniger offensichtlich ist die Tatsache, dass die induzierte Karte von $ E $ -Algebren
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ bis A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
ist ein Isomorphismus von $ E $ -Algebren. Tatsächlich handelt es sich um einen Isomorphismus von $ E $ -Algebren mit einer Aktion von $ \ Gamma $, wobei $ \ Gamma $ durch seine Aktion auf $ E $ auf die Quelle einwirkt !
Warum ist $ A ^ {\ otimes \ Gamma} $ oder $ (A ^ {\ otimes {\ Gamma}}) ^ {\ Gamma} $ wichtig? Beachten Sie, dass für jede $ F $ -Algebra $ R $ die offensichtliche Karte ist
$$ \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ to \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R. \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} $$
ist eine Bijektion, bei der die Aktion $ \ Gamma $ aktiviert ist
$$ \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) $$
nimmt einen Homomorphismus $ \ alpha $ zu $ \ sigma \ circ \ alpha \ circ \ sigma ^ {- 1} $, wobei $ \ sigma ^ {- 1} $ auf $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ einwirkt \ Gamma \ otimes_F E $ durch seine Aktion auf $ E $ und die Aktion von $ \ sigma $ ist auf $ R \ otimes_F E $, das ebenfalls von $ E $ handelt .
Wir haben jedoch bereits festgestellt, dass wir einen Isomorphismus haben
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ {\ Gamma} \ otimes_F E \ bis A ^ {\ otimes \ Gamma}: x \ otimes e \ mapsto ex $$
von $ E $ -Algebren mit $ \ Gamma $ -Aktion. So sehen wir das
$$ \ Hom_E \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ otimes_F E, R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} = \ Hom_E \ left (A ^ {\ otimes \ Gamma} , R \ otimes_F E \ right) ^ {\ Gamma} $$
aber was ist eine $ \ Gamma $ -äquivariante Karte von $ E $ -Algebren $ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ zu R \ otimes_F E $ ? Nach der Definition eines Tensorprodukts über $ E $ handelt es sich um eine Sammlung von Karten mit $ E $ -Algebren
$$ f_ \ sigma: A ^ \ sigma \ bis R \ otimes_F E $$
wo wir $ f _ {\ mathrm {id}} $ mit $ f $ abkürzen, so dass Sie für jede Sammlung $ a_ \ sigma \ in A ^ \ sigma $ haben
$$ f_ \ sigma (a_ \ sigma) = \ sigma (f (a)) $$
Mit anderen Worten, Sie sehen, dass solche Daten vollständig durch $ f $ bestimmt werden .
Mit anderen Worten, wenn man alles zusammenfasst, gibt es eine natürliche Reihe von Bijektionen
$$\begin{align}\Hom_F\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma,R\right) &= \Hom_E\left((A^{\otimes\Gamma})^\Gamma\otimes_F E,R\otimes_F E\right)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A^{\otimes\Gamma},R\otimes_F E)^\Gamma\\ &= \Hom_E(A,R\otimes_F E)\end{align}$$
oder mit anderen Worten, wir haben das gezeigt
$$ \ Res_ {E / F} \ Spec (A) = \ Spec \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ right) $$
Genauer gesagt haben wir eine Bijektion
$$ J: \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
gegeben durch Nehmen von $ f $ zu $ (f \ otimes 1) \ mid_A $ .
Was hat das nun mit der Normkarte zu tun? Beachten Sie, dass wir eine multiplikative Karte haben
$$ N: A \ bis A ^ {\ otimes \ Gamma}: a \ mapsto \ bigotimes \ sigma (a) $$
die wir den Anruf Norm Karte. Beachten Sie, dass diese Karte nicht additiv ist, sondern ein Bild in $ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ enthält .
Wenn also $ a \ in A $, dann $ N (a) \ in (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $ . In Anbetracht unserer obigen Diskussion ist es jetzt einfach, dies zu überprüfen
$$ \ Res_ {E / F} (D (a)) = D (N (a)) $$
Was ist in der Tat eine Karte von $ F $ -Schemata?
$$ \ Spec (R) \ bis D (N (a)) $$
aber eine Karte von $ F $ -Algebren
$$ (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma \ bis R $$
so dass $ N (a) $ einer Einheit zugeordnet wird. Was ist eine Karte von $ E $ -Schemata?
$$ \ Spec (R \ otimes_F E) \ bis \ Spec (A) $$
aber eine Karte von $ E $ -Algebren
$$ A \ bis R \ otimes_F E $$
Beachten Sie dann, dass unter unserer obigen Bijektion
$$ \ Hom_F \ left ((A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma, R \ right) \ xrightarrow {\ approx} \ Hom_E (A, R \ otimes_F E) $$
man sieht, dass
$$ f (N (a)) = J (f) (a) $$
und so ist $ f (N (a)) $ eine Einheit, wenn $ J (f) (a) $ ist. Genau das wollen wir.
Lassen Sie mich noch ein letztes Wort dazu sagen, wie die Beziehung zwischen der Normkarte aussieht
$$ N: A \ bis (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
und bekanntere Versionen der Normkarte. Nehmen wir nämlich an, dass es eine $ F $ -Algebra $ B $ gibt, so dass $ A = B \ otimes_F E $ . Dann stellen wir fest, dass wir einen Isomorphismus von $ E $ -Algebren haben
$$ A ^ \ sigma = B \ otimes_F E \ otimes_ {E, \ sigma} E \ bis A = B \ otimes_F E: (b \ otimes e_1) \ otimes e_2 \ mapsto b \ sigma (e_1) e_2 $$
Damit kann man zeigen, dass es einen Isomorphismus von $ E $ -Algebren gibt
$$ A ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong B \ otimes_E E ^ {\ otimes \ Gamma} \ cong A \ otimes_E (E ^ {| \ Gamma |}) \ cong B ^ {| \ Gamma |} $$
Außerdem ist es dann nicht schwer zu überprüfen, ob die natürliche Karte
$$ B \ to (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma $$
ist ein Isomorphismus. Wir sehen also, dass die Normkarte eine Karte ist
$$ N: B \ otimes_F E = A \ bis (A ^ {\ otimes \ Gamma}) ^ \ Gamma = B $$
Lassen Sie nun $ x \ in B \ otimes_F E $ links von $ B \ otimes_F E $ durch linke Multiplikation wirken und bezeichnen Sie dies mit $ \ ell_x $ . Da $ B \ otimes_F E $ ein freies $ B $ -Modul mit endlichem Rang ist, kann man $ \ det (\ ell_x) \ in B $ betrachten . Dann hat man unter den obigen Identifikationen $ N (x) = \ det (\ ell_x) $ .