Welche Schemata sind Teiler einer abelschen Sorte?

Question

Lassen $X$ sei ein glattes, projektives, nicht reduzierbares Schema über einem algebraisch geschlossenen Feld $k$. Ich versuche zu verstehen, wann es eine abelsche Sorte gibt$A$ so dass $X$ ist isomorph zu einem Primteiler auf $A$.

Es gibt natürlich einige einfache Fälle. Wenn$X$ ist nulldimensional, dh ein Punkt, dann ist es isomorph zur Identität einer elliptischen Kurve $E$ Über $k$, daher ist es ein Teiler von $E$. Wenn$X$ ist von der Gattung $1$, wenn wir dann a wählen $k$-Punkt also $X$ist eine elliptische Kurve. Dann$X$ ist isomorph zur Diagonale $\Delta\subset X\times X$, das ist ein Teiler. Schon seit$X$ ist eine elliptische Kurve, $X\times X$ist auch eine abelsche Sorte. Wenn$X$ ist eine Kurve der Gattung $2$, dann der Jacobianer von $X$ ist zweidimensional und somit $X$ ist von codimension eins und damit die einbettung $X\rightarrow \text{Jac}(X)$ lässt uns identifizieren $X$ mit einem Teiler von $\text{Jac}(X)$.

Diese einfachen Fälle geben mir jedoch keine Vorstellung für den allgemeinen Fall. Der Jacobianer arbeitet nur für die Gattung$2$Fall usw. Die Albanse-Sorte hilft auch nicht, da die Codimension möglicherweise zu groß ist. Gibt es Gegenbeispiele für ein glattes, projektives, nicht reduzierbares Schema über einem algebraisch geschlossenen Feld, das kein Teiler einer abelschen Sorte ist?

Answer 1

Jede Kurve der Gattung größer als zwei, deren Jacobian $J$ist einfach, wird reichen. Wenn es ein Teiler auf einer abelschen Oberfläche wäre$S$dann würde es eine Vermutung geben $J\to S$ mit positivem dimensionalen Kernel, der der Einfachheit von widerspricht $J$. Die meisten Kurven der Gattung größer als zwei haben diese Eigenschaft; ein zufällig ausgewähltes Beispiel ist$y^3 = x^4 - x$.

Answer 2

Eine offensichtliche Klasse von Gegenbeispielen sind ungeregelte Sorten. Tatsächlich enthalten abelsche Sorten keine rationalen Kurven.

Allgemeiner und aus dem gleichen Grund, wenn $X$ ist also jede algebraische Variante, die eine (möglicherweise singuläre) rationale Kurve enthält $X$ ist keine Subvarietät einer abelschen Sorte, insbesondere ist sie dort kein Teiler.

Answer 3

Hier ist eine weitere Antwort mit den Albanern, die einen etwas anderen Geschmack haben. Lassen$X$ Sein $n$-dimensional und nehmen wir an, dass $h^0(X,\Omega^1_X)<n$. Dann jede Karte$X\rightarrow A$ wo $A$ ist ein abelscher Sortenfaktor durch die Albaner, der eine Dimension von weniger als hat $n$, so $X$kann kein Teiler einer abelschen Sorte sein. Als Beispiel könnten Sie also jede einfach verbundene Sorte nehmen. Natürlich,$\mathbb{P}^1$ macht den Trick.

Answer 4

Ich möchte nur darauf hinweisen, dass "Adjunktion + Übersetzung" uns einiges sagt:

Lassen $A$ sei eine abelsche Sorte, etwa der Dimension $n>1$ und lass $D \subset A$sei ein (sagen wir glatter) Teiler. Schon seit$\omega_A = \mathcal{O}_A$, die Zusatzformel $$ \omega_D = \omega_A(D)|_D = \mathcal{O}(D)|_D, $$ das normale Bündel von $D$. Durch Differenzierung der Übersetzungsaktion von$A$können wir globale Abschnitte erhalten, die nicht 0 sind $0 \neq \sigma \in H^0(D,\omega_D)$In diesem Fall sind die Befugnisse $\sigma^d$ Show $H^0(D, \omega_D^d) \neq 0$ für alle $d>0$. Dies zeigt, dass$D$ hat eine nicht negative Kodaira-Dimension: $\kappa(D) \geq 0$.

Bemerkung : Es ist bekannt, dass$D$ ungeregelt $\implies$ $H^0(D, \omega_D^d)=0$ für alle $d > 0$ (und das Gegenteil ist eine Vermutung), so dass das Obige mehr oder weniger eine Ausarbeitung von Polizzis Beobachtung ist, dass $D$ kann nicht ungeregelt werden.