Wird für dieses Argument eine Induktion benötigt?

Question

Diese Frage bezieht sich auf Übung 13 in Abschnitt 1-1 der Zahlentheorie von George E. Andrews. Das Buch sagt:

Die Lucas-Nummern $L_n$ werden durch die Gleichungen definiert $L_1 = 1$, und $L_n = F_{n + 1} + F_{n - 1}$ für jeden $n \geq 2$. Das haben wir auch

$\textbf{Claim: }\ L_n = L_{n - 1} + L_{n - 2}\ \text{ for }\ n \geq 3$.

$\textit{My attempt at a proof: }$Wir nähern uns durch mathematische Induktion. Überlegen Sie für den Basisfall, wann$n = 3$. Wir haben das$L_3 = F_4 + F_2 = 3 + 1 = (2 + 1) + 1 = (F_3 + F_1) + 1 = L_2 + L_1$ Der Anspruch gilt also, wenn $n = 1$. Angenommen, die Behauptung gilt für eine ganze Zahl$k > 1$. Dann,\begin{align*} L_{k + 1} &= F_{k + 2} + F_k && \text{definition of Lucas number}\\ &= (\underline{F_k} + \underline{\underline{F_{k + 1}}}) + (\underline{F_{k - 2}} + \underline{\underline{F_{k - 1}}}) && \text{Fibonacci recurrence}\\ &= L_{k - 1} + L_k && \text{definition of Lucas number}. \end{align*} Daher gilt der Anspruch auch für die ganze Zahl $k + 1$. Nach dem Prinzip der mathematischen Induktion gilt der Anspruch für alle$n \geq 3$.

Das Problem, das ich habe, ist, dass ich die induktive Hypothese nicht verwendet habe. Ich bin also verwirrt, ob mein Beweis falsch ist oder ob das Argument keine Induktion usw. erfordert.

Ich habe eine schnelle Suche durchgeführt und es scheint, dass die Lucas-Zahlen normalerweise durch definiert sind $L_0 = 2$, $L_1 = 1$, und $L_n = L_{n - 1} + L_{n - 2}$ zum $n \geq 3$. Und das Problem ist normalerweise zu zeigen$L_n = F_{n + 1} + F_{n - 1}$ für jeden $n \geq 2$. Wäre dies ein Tippfehler im Buch oder ein Missverständnis auf meiner Seite?

Answer 1

Sie haben Recht, wenn Sie sagen, dass Ihr Beweis keine Induktion verwendet. Es ist ein einfaches Argument, das die Definition für die Lucas-Zahlen und die Eigenschaft der Fibonacci-Zahlen verwendet.

Die Schlussfolgerung ist, dass die Lucas- und Fibonacci-Zahlen dieselbe rekursive Bedingung erfüllen.

Um die Definition wiederherzustellen, die Sie für die Lucas-Nummern gefunden haben, müssen Sie nur die ursprünglichen Bedingungen überprüfen.

Da die Definitionen tatsächlich gleichwertig sind, gibt es keinen Grund anzunehmen, dass das Buch einen Tippfehler enthält.