Zählsummierung der Binomialkoeffizienten

Question

Ich muss die Summe der Binomialkoeffizienten in der Sequenz zählen

${2020}\choose{0}$ - 2 ${2020}\choose{1}$ + 3${2020}\choose{2}$ + ... - 2020${2020}\choose{2019}$ + 2021${2020}\choose{2020}$

dh alle geradzahligen Multiplikatoren sind negativ und die Summe ist $\sum^{2020}_{r=0} (-1)^{r} (r + 1)$$ {2020} \ wähle {r} $

Ich habe diese Sequenz mit der Symmetrieregel vereinfacht

$ {2020} \ wähle {0} $ - 2 $ {2020} \ wähle {1} $ + 3 $ {2020} \ wähle {2} $ + ... - 1010 $ {2020} \ wähle {2009} $ + 1011 $ {2020} \ wähle {2010} $ +

2021 $ {2020} \ wähle {0} $ - 2020 $ {2020} \ wähle {1} $ + 2019 $ {2020} \ wähle {2} $ + ... - 1012 $ {2020} \ wähle {2009} $

= 2022 $ \ sum ^ {1009} _ {r = 0} (-1) ^ r$${2020}\choose{r}$ + 1011${2020}\choose{1010}$

Schon seit $\sum^{n}_{r = 0} (-1)^r$${n} \ wähle {r} $ = 0,

= 2020 (0) + 1011 $ {2020} \ wähle {1010} $

dh vom letzten Term bis zum Term in der Mitte habe ich die Gleichung umgedreht, um die Binomialkoeffizienten gleichzusetzen.

Die Anzahl, die ich erhalten habe, ist jedoch so groß, dass mein Taschenrechner sie nicht verarbeiten kann. Ich bin mir nicht sicher, wie ich vorgehen soll und ob diese Methode korrekt ist.

Answer 1

Ich denke, Sie sind auf dem richtigen Weg. Beachten Sie, dass Sie nicht haben$\sum_{r=0}^{2020}(-1)^r\binom {2020}r$Sie können diese Vereinfachung also nicht vornehmen. Anstatt jedoch zu ersetzen$\binom nr$ mit $\binom n{n-r}$ Was würde passieren, wenn Sie für nur die Hälfte der Liste versuchen würden, die gesamte Summe zu ersetzen, und dann die ursprüngliche Summe zur neuen Summe hinzufügen würden?

Da diese Antwort mehr oder weniger ignoriert wurde, möchte ich sie klarer machen. Sie haben Ihre Summe bereits ermittelt

$$k=\sum_{r=0}^{2020}(-1)^r(r+1)\binom{2020}r$$

Jetzt benutzen $\binom{2020}r=\binom{2020}{2020-r}$ und ersetzen $u=2020-r$ zu bekommen

$$k=\sum_{u=0}^{2020}(-1)^{2020-u}(2020-u+1)\binom{2020}u=\sum_{u=0}^{2020}(-1)^u(2021-u)\binom{2020}u$$

Natürlich ist der Index der Summierung nur ein Platzhalter. Wir können die ersetzen$u$ mit $r$ wieder und füge Begriff für Begriff hinzu, um zu erhalten

$$2k=\sum_{r=0}^{2020}(-1)^r(2022)\binom{2020}r=2022(1-1)^{2020}=0$$

Answer 2

Diese Summe kann geschrieben werden als $$S=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k (k+1){n \choose k}~~~~(1)$$Der Binomialsatz: $$\sum_{k=0}^{n} {n \choose k} (-x)^k=(1-x)^n~~~(2)$$ Es gibt $$\sum_{k=0}^{n}(-1)^k {n \choose k}=0 ~~~(3)$$ D (1) wr t $x$ und legen $x=1$bekommen wir wieder $$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k k {n \choose k}=0~~~~(4)$$ Aus (3,4) folgt daraus $S=0$.

Answer 3

${(1+x)}^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2..\binom{n}{n}x^n$

multipliziere x auf beiden Seiten

$x{(1+x)}^n=\binom{n}{0}x+\binom{n}{1}x^2+\binom{n}{2}x^3..\binom{n}{n}x^{n+1}$

Jetzt können Sie x durch -x ersetzen

$x{(1-x)}^n=\binom{n}{0}x-\binom{n}{1}x^2+\binom{n}{2}x^3..{(-1)}^n\binom{n}{n}x^{n+1}$

Jetzt können Sie wrt x auf beiden Seiten unterscheiden und den Wert eingeben $x=1$ um deine Summe zu bekommen (hier n = 2020)

Answer 4

Definieren $f(x,y) = x(x+y)^{2020}$. Dann ist die Summe, die Sie berechnen möchten, gleich$\frac{\partial f}{\partial x}(1,-1)$.