Zeige, dass $U_1 \oplus U_2=V$

Question

Lassen$V=\mathbb{R}^\mathbb{R}$sei ein$\mathbb{R} $Vektorraum aller Abbildungen aus$\mathbb{R}$zu$\mathbb{R}$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=-f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

Zeige, dass$U_1 \oplus U_2=V$.

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich damit anfangen soll?

Meine ursprüngliche Idee war, das zu zeigen$U_1 \cap U_2 = {0}$und$\dim_\mathbb{R}(U_1)+\dim_\mathbb{R}(U_2)=\dim_\mathbb{R}(V)$

Answer 1

$U_1\cap U_2=\{0\}$ist einfach und ich überlasse es Ihnen. Verwenden Sie für die zweite Eigenschaft die Tatsache, dass$f=g+h$wo$g(x)=\frac {f(x)+f(-x)} 2$und$h(x)=\frac {f(x)-f(-x)} 2$

Answer 2

$f(x)={1\over 2}(f(x)+f(-x))+{1\over 2}(f(x)-f(-x))$

Answer 3

Hinweis: Jede Funktion kann als Summe einer ungeraden und einer geraden Funktion geschrieben werden. Zum Beispiel: für alle$g\in V$, beachten Sie, dass$g(x) =Even +Odd=\frac{g(x) +g(-x)} {2}+\frac{g(x)-g(-x)}{2}\in U_1+U_2$.
Für$U_1\cap U_2$, denken Sie an die Funktion, die sowohl ungerade als auch gerade ist!