Zeigen Sie, dass Power Set ein Set ist.

Question

Ich bin auf folgenden Satz gestoßen: Der Autor möchte, dass der Leser beweist:

Satz 1 . Für beliebige Menge$X$, $\{A \mid A \subseteq X\}$ Ist ein Satz.

Mein Versuch (hauptsächlich basierend auf Hinweisen des Autors):

Ich werde zuerst das im Buch vorgestellte Potenzaxiom angeben (das sich von dem zu unterscheiden scheint, was im Wikipedia-Artikel geschrieben steht ):

Kraftsatz Axiom . Lassen$X$ und $Y$gesetzt werden. Dann existiert eine Menge, die bezeichnet wird$Y^{X}$ , die aus allen Funktionen von besteht $X$ zu $Y$ also

$$f \in Y^{X} \iff \text{(f is a function with domain $X.$ and range Y)}$$

Unter Verwendung des Potenzsatzaxioms und des Ersatzaxioms können wir den folgenden Satz konstruieren

$$S = \{Z \mid Z = f^{-1}(\{1\}) \text{ for some } f \in \{0,1\}^X \}$$

Jetzt müssen wir das für beliebig zeigen $A \in S$, $A \in S$ iff $A \subseteq X$

$(\rightarrow)$ Nimm etwas $A \in S$ und nimm etwas $a \in A$. Schon seit$A \in S$existiert einige $f: X \rightarrow Y$ so dass $f^{-1}(\{1\}) = A$. Durch die Definition des Rückwärtsbildes können wir daraus schließen$a$ ist in der Domäne von $f$, das ist $a \in X$.

$(\leftarrow)$ Nehmen Sie eine beliebige Teilmenge von $X$, sagen $A$. Wir können definieren$f: X \rightarrow Y$ so dass $f(x) = 1$ iff $x \in A$, und $f(x) = 0$Andernfalls. Wir sehen das$f \in \{0,1\}^{X}$ und es ist wahr, dass $A = f^{-1}(\{1\})$. Daher$A \in S$.

Daher $S = \{A \mid A \subseteq X\}$, was bedeutet, dass $\{A \mid A \subseteq X\}$ Ist ein Satz.

$\blacksquare$

---

Frage 1.

Ist es richtig?

Frage 2.

Wenn der obige Beweis korrekt ist, gibt es präzisere Alternativen? Bevor ich Hinweise des Autors sah (das heißt, wir müssen das Potenzsatz-Axiom und das Ersatz-Axiom verwenden), hatte ich gedacht, dass das folgende Argument ausreichen würde: "Menge ist eine Sammlung von Objekten. Teilmenge ist ein Objekt. Daher Sammlung von Teilmengen von Ein bestimmter Satz ist ein Satz. "

Answer 1

Dieser Beweis sieht für mich gut aus. Nur ein paar Kommentare dazu:

1. Sofern es nicht bereits an einer anderen Stelle in dem Buch, das Sie lesen, bewiesen wurde, möchte ich eine Begründung hinzufügen, warum die Elemente von $S$ sind Sets, also so etwas wie $$f^{-1}(\{1\}) = \big\{ x \in X : f(x) = 1\big\}$$ ist ein Satz für jeden $f \in \{0,1 \}^X$ durch das Trennungsaxiom.
2. In dem $(\to)$ Richtung müssen Sie zwei Fälle betrachten, nämlich $A = \varnothing$ und $A \neq \varnothing$. Wenn$A = \varnothing$dann trivial $A \subseteq X$;; sonst gibt es$a \in A$ (wie Sie sagen), und der Rest des Beweises folgt.

Wie in den Kommentaren angedeutet, ist es sinnvoll, einen solchen Formalismus zu verwenden, um dies für jede Menge zu beweisen $A$, $\mathcal P(A)$ist auch eine Menge (anstatt zu argumentieren, wie Sie zuerst dachten), stammt von Mathematikern, die versuchen, nicht in eine Position zu geraten, in der bestimmte Mengen von Mengen so "groß" sind, dass in Ihrem Axiomensystem Widersprüche auftreten, wie die in Cantors und Burali-Fortis Paradoxe.