Zerlegen einer Permutation in 3 Zyklen

Question

Ich habe zwei Übungen, die ich nicht lösen kann:

1. Schreiben Sie die Permutation $α = (1 2)(3 4)$ als Produkt von 3 Zyklen
2. Schreiben Sie die Permutation $α = (1 2 8 3 7)(4 5 6)$ als Produkt von 3 Zyklen

Ich weiß, wie man eine Permutation in eine Zusammensetzung von 2 Zyklen umwandelt, aber nicht von 3 Zyklen. Ich stelle mir vor, dass es eine Regel gibt, wann dies möglich ist, abhängig von ungeraden / geraden Eigenschaften, aber da ich die genannten Übungen verwende, um etwas über die Permutationsparität zu lernen, kann ich Argumenten, die auf diesem Verständnis basieren, noch nicht folgen.

Außerdem arbeite ich mit der Komposition von links nach rechts, so dass $(123) = (12)(13)$.

Vielen Dank im Voraus für jede Hilfe.

Answer 1

Beachten Sie zunächst, dass 3-Zyklen gerade sind und Produkte mit geraden Permutationen selbst sind (wenn Sie wissen, was dies bedeutet, kommt dies von der Tatsache, dass die Karte, die jede Permutation an ihr Vorzeichen sendet, ein Homomorphismus ist ), für eine Permutation Um als Produkt von 3 Zyklen geschrieben zu werden, muss es gerade sein. Zum Glück dein$\alpha$sind.

Lassen Sie mich hier das allgemeine Argument geben, dass Sie sich hoffentlich auf die oben genannten Fälle spezialisieren können. Nehmen Sie eine gleichmäßige Permutation$\sigma$ und schreibe es als Produkt von Transpositionen, sagen wir $\tau_1\cdots\tau_k$, wo $k$muss gerade sein. Anschauen$\tau_1\tau_2$können Sie annehmen $\tau_1\neq\tau_2$ansonsten ist ihr Produkt die identische Permutation. Dann haben Sie zwei Fälle:

1. $\tau_1=(ab),\tau_2=(ac)$dh $\tau_1,\tau_2$ Permutieren Sie eine gemeinsame Zahl, sagen wir $a$. In dieser Situation, wie Sie für bemerkt haben$(123)$, $(ab)(ac)=(abc)$, damit $\tau_1\tau_2$ ist ein 3-Zyklus;
2. $\tau_1=(ab),\tau_2=(cd)$mit $a,b,c,d$anders, dh sie sind disjunkt. In diesem Fall schreiben Sie$(ab)(cd)=(ab)(bc)(bc)(cd)$ und Sie erhalten ein Produkt von zwei 3-Zyklen durch Punkt 1.

Iterieren und die Tatsache nutzen, dass $k$ ist gerade, Sie erhalten eine vollständige Zerlegung von $\sigma$in 3 Zyklen. Dies beweist übrigens tatsächlich, dass jede gleichmäßige Permutation als Produkt von 3 Zyklen geschrieben werden kann (vorausgesetzt, Sie sind mit der Terminologie vertraut).$A_n$ wird durch 3 Zyklen erzeugt).

Answer 2

Cristofer hat Ihre Frage bereits beantwortet, daher füge ich nur den allgemeinen Fall hinzu, da Sie sich gefragt haben, ob es eine "Regel" gibt, wann Dinge zerlegt werden könnten. Dies ist etwas, was ich aus Beardon Algebra und Geometrie gelernt habe, aber es gibt sicherlich mehr Referenzen.

Satz. Lassen$\sigma\in S_n$ eine Permutation sein, $2 \leq m \leq n.$ Dann $\sigma$ kann als Produkt von zersetzt werden $m$-Fahrräder $\iff$ entweder $m$ ist gerade oder $\sigma$ ist eine gleichmäßige Permutation.

Beweis. $\implies$ sollte einfach sein, als ob $\sigma$ ist eine ungerade Permutation dann alle $m$-zyklen müssen also ungerade Permutationen sein $m$ ist gerade.

$\impliedby$ Fall I. Wenn $\sigma$ ist eine gleichmäßige Permutation, dann beachte $\left(a_{1} a_{2}\right)\left(a_{1} a_{3}\right)=\left(a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} \cdots a_{m}\right)\left(a_{m} \cdots a_{4} a_{3} a_{1} a_{2}\right)$ (oder umgekehrt, da Sie die Komposition von links nach rechts verwenden) und Cristofers Trick in (2) $(ab)(cd)=(ab)(bc)(bc)(cd)$ würde dir erlauben zu schreiben $\sigma$ als Produkt von $m$-Fahrräder.

Fall II. Wenn$\sigma$ ist aber eine merkwürdige Permutation $m$ ist gerade, dann wende Fall I an, um zu zerlegen $\sigma (1 2 3 ... m)$ in $m$-zyklen, die eine gerade Permutation ist, und multiplizieren $(m (m-1) ... 2 1)$ auf der rechten Seite, wenn Sie fertig sind, gibt Ihnen $m$-Zyklus Zersetzung von $\sigma$.