Zersetzung positiv-semidefinite Matrix.

Question

Wenn eine Matrix $A$ $n$x$n$ ist positiv semidefinit, hat dann folgende Zersetzung:

$$A=S'S;$$

wo S Dimension hat $m$x$n$.

Wenn $S$ Kann man davon ausgehen, dass es sich nicht mehr um eine positive semidefinite Matrix handelt, sondern um eine positive definitive?

Ich verstehe, dass wenn die Matrix positiv definitiv ist, die Matrizen ihrer Zerlegung den vollen Rang haben. Wie ändert es sich dann, wenn diese Matrizen den vollen Spaltenrang haben?

Answer 1

Wenn $S$ hat den vollen Spaltenrang, dann für jeden Vektor ungleich Null $x$, wir haben $Sx\ne0$ und $x'Ax=x'S'Sx=\|Sx\|_2^2>0$. Daher$A$ ist definitiv positiv.