Cálculos con números complejos
Así que hoy encontré esta pregunta en mi libro de matemáticas, y no sé cómo obtener la respuesta correcta, aunque parece muy fácil, solo quiero saber cómo hacerlo para poder dormir un poco.
Esta es la pregunta:
Cuando el número complejo $z=r(\cos\theta + i \sin\theta)$ muestra esa $z-\frac{1}{z}=i(2r\sin\theta)$
No he hecho mucho para esta pregunta aparte de hacer esto usando el número complejo real: $$\frac{z^2-1}{z}$$
¿Alguien puede mostrarme cómo probar esta pregunta? Se agradece cualquier ayuda.
Respuestas
La identidad no es cierta, de hecho tenemos eso
$$z-\frac1z=z-\frac{\bar z}{|z|^2}=r(\cos\theta + i \sin\theta)-\frac1r(\cos\theta - i \sin\theta)=\left(r-\frac1r\right)\cos \theta+\left(r+\frac1r\right)i\sin \theta$$
la identidad es verdadera solo para $\left(r-\frac1r\right)=0$ y $\left(r+\frac1r\right)=2r$ es decir $r=1$ o $z=e^{i\theta}$.
Lo que es igual a $\:2ir\sin\theta\:$ es $\:z -\color{red}{\bar z}$.
Ahora $\bar z=\dfrac 1 z\:$ si y solo si $z$ tiene módulo $1$.