Dependencia temporal de los operadores

Question

En la Introducción a la mecánica cuántica de Griffiths, mientras estudiaba la evolución temporal del valor esperado de la posición, el autor escribió: $$\langle x\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}x|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

Entonces $$\frac{d\langle x\rangle}{dt}=\int x\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(x,t)|^2\,dx.$$

¿Acaba de asumir que $x$no tiene dependencia del tiempo? ¿Y por qué?

Answer 1

¿Acaba de asumir que x no depende del tiempo? ¿Y por qué?

Si. El resultado de una integral de la forma$$\int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx \tag{1}$$ es una función del tiempo $t$; es decir, una función de una variable real (o, en términos generales, la integral se evaluará a una cantidad que no dependerá de$x$, sólo en $t$). Así, al diferenciar$(1)$, uno obtendría: $$\frac{\text{d}}{\text{d}t} \int_{\mathbb{R}} f(x,t) \, dx = \int \frac{\partial f}{\partial t}(x,t) \, dx$$como lo dicta el Teorema integral de Leibniz (tenga en cuenta que he asumido algunos supuestos débiles sobre el comportamiento de$f$, pero no es de un interés increíble aquí). Una aplicación trivial de esto en$$\langle x \rangle := \int_{\mathbb{R}} x |{\Psi(x,t)}|^2 \, dx$$ produce el resultado deseable.

Answer 2

Hay dos formulaciones de la mecánica cuántica:

• Representación de Schrödinger . La evolución en el tiempo se codifica en el vector de estado, función de onda -$\Psi(x,t)$, y los observables (operadores) son constantes en el tiempo
• Representación de Heisenberg . Ahora los operadores evolucionan en el tiempo y los vectores de estado son independientes del tiempo y se mantienen fijos.

En el caso de las teorías que interactúan, existe una representación de interacción híbrida . Aquí los operadores evolucionan con el hamiltoniano que no interactúa$H_0$, y los estados evolucionan a través de la parte de interacción $H_I$.

Entonces, en su caso, el autor usa la representación de Schrödinger.