Distribución binomial negativa MGF
La página de Wikipedia de distribución binomial negativa enumera su función de generación de momento como $(\frac{1 - p}{1 - pe^t})^r$.
Sin embargo, la página de función generadora de momentos enumera el MGF de la distribución binomial negativa como $(\frac{pe^t}{1 - e^t + pe^t})^r$.
Desmos revela que estos no son algebraicamente equivalentes. ¿Cuál es la correcta y por qué la disparidad?
Respuestas
Basta con hacer el caso en el que $r=1.$
Dejar $X$ ser el número de ensayos independientes antes del primer éxito, con probabilidad $p$de éxito en cada prueba. Luego$X\in\{0,1,2,3,\ldots\}$ y $\Pr(X=x) = (1-p)^x p.$ Entonces tenemos $$ \begin{align} M_X(t) & = \operatorname E(e^{tX}) = \sum_{x=0}^\infty e^{tx} (1-p)^x p \\[8pt] & = \frac p {1 - (1-p)e^t} = \frac{1-q}{1-qe^t}. \end{align} $$
Ahora deja $X$ ser el número de ensayos independientes necesarios para obtener un éxito, con probabilidad $p$de éxito en cada prueba. Luego$X\in\{1,2,3,\ldots\}$ y $\Pr(X=x) = (1-p)^{x-1} p.$ Entonces tenemos $$ \begin{align} M_X(t) & = \operatorname E(e^{tX}) = \sum_{x=1}^\infty e^{tx} (1-p)^{x-1} p \\[8pt] & = \frac{pe^t}{1 - (1-p)e^t} = \frac{(1-q)e^t}{1 - qe^t}. \end{align} $$
Por lo tanto, el de la página MGF es correcto si considera la "distribución binomial negativa" admitida en el conjunto $\{r,r+1,r+2,\ldots\},$ y el de la página NB es correcto si considera que la distribución NB es compatible con el conjunto $\{0,1,2,3,\ldots\},$ y los roles de $p$ y $q$ se intercambian.
Tenga en cuenta que el artículo de Wikipedia titulado "Distribución binomial negativa" dice esto:
Diferentes textos (e incluso diferentes partes de este artículo) adoptan definiciones ligeramente diferentes para la distribución binomial negativa. Se pueden distinguir por si el soporte comienza en$k = 0$ o en $k = r,$ si $p$ denota la probabilidad de un éxito o de un fracaso, y si $r$ representa el éxito o el fracaso, por lo que es crucial identificar la parametrización específica utilizada en cualquier texto.