¿El axioma implica su dual?

Question

Supongamos que tenemos el siguiente axioma para el plano proyectivo:

Axioma : Si una proyectividad deja invariante cada uno de los tres puntos distintos de una línea, deja invariantes todos los puntos de la línea.

El dual de este axioma es la siguiente declaración:

Dual : si una proyectividad deja invariante cada una de las tres líneas distintas, que son concurrentes en un punto, deja invariantes todas las líneas que pasan por ese punto.

Ahora necesito demostrar que Axiom $\Rightarrow$ Dual .

Mi intento equivocado de prueba : deja que las tres líneas$a,b,c$, concurrente en $O$ ser las líneas dejadas invariantes por la proyectividad, y $l$ ser cualquier otra línea a través $O$. Si podemos demostrar que tres puntos en$l$ se dejan invariantes por esta proyectividad, entonces tendremos que todos los puntos en $l$ permanecen invariantes por la proyectividad, lo que implicaría que $l$ se deja invariante, y habremos terminado, porque hemos tomado cualquier línea arbitraria a través de $O$.

Ahora sabemos que $O$se deja invariante por la proyectividad. Para cualquier otro punto, diga$P$, en $l$, deja pasar una línea $P$ otro que $l$, intersecar $a, b$ y $c$ en los puntos $A,B$ y $C$, respectivamente. Ahora si$A,B,C$ se dejan invariantes por la proyectividad, entonces $P$, un punto en la línea $AB$, también se dejará invariante. Ya que$P$ es cualquier punto arbitrario en $l$, esto es cierto para todos los puntos en $l$ y hemos terminado.

Sin embargo las lineas$a,b,c$ ser invariante no implica que los puntos $A,B,C$quedará invariable por la proyectividad . Ahí es donde estoy atrapado.

Por favor, comparta sus ideas para orientarme en la dirección correcta.

Answer 1

Puede pensar en una proyectividad como una secuencia alterna de puntos y líneas y las secuencias de perspectivas que representan. Por un ejemplo simple,$(\ell_1,P_2,\ell_3)$ representa la perspectiva entre líneas $\ell_1$ y $\ell_3$ con centro $P_2$. Y ($P_2,\ell_3,P_4$) es la perspectiva con eje $\ell_3$ entre lápices en $P_2$ y $P_4$. ($\ell_1,P_2,\ell_3,P_4,\ell_5$) es una proyectividad $\ell_1\rightarrow\ell_5$ esa es la composición de dos perspectivas $\ell_1\rightarrow\ell_3\rightarrow\ell_5.$

Dejar $(P_1,\ell_2,\dots,P_1)$ ser una proyectividad que deje tres líneas en el lápiz en $P_1$invariante, pero no todo el lápiz. Entonces considera$(\ell_2,\dots,P_1,\ell_2)$. Esto posiblemente ya sea más que el empujón que ha solicitado, pero dejaré el paso final como un spoiler.

$(\ell_2,\dots,P_1,\ell_2)$ es una proyectividad que viola el Axioma.