Función generadora de polinomios de Hermite

Question

¿Cómo escribiría el siguiente polinomio en términos de los polinomios de Hermite? $H_n(z)$? \ begin {ecuación} P_n (z) = \ sum_ {k = 0} ^ {[n / 2]} \ frac {n! a ^ k} {k! (n-2k)!} (2a z) ^ { (n-2k)} \ end {ecuación} Me di cuenta$H_n(iaz)$ parece cerca, pero el $a^k$ factor es desconcertante.

Esta expresión se obtiene de una expansión en serie de la serie de Taylor de \ begin {ecuación} \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {- ax ^ 2} \ end {ecuación} ¿Existe un conjunto de polinomios que se puede encontrar en \ begin {ecuación} \ frac {d ^ n} {dx ^ n} e ^ {- ax ^ m} \ end {ecuación} donde$m=2,3,\dots$?

Answer 1

Usted quiere $a^{k+n-2k}=a^{n-k}$ ¿Y qué pasa si asimilas el argumento? $(-a)^{n/2}$ y multiplica por ese factor, obtendrás $$(-a)^{n/2}H_n((-a)^{1/2}\cdot z)=(-a)^{n/2}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2\sqrt{-a}\cdot z)^{n-2k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{\frac{2n-2k}{2}}$$ $$=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(2z)^{n-2k}(-a)^{n-2k+k}=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }\frac{n!}{k!(n-2k)!}(-1)^k(-2az)^{n-2k}(-a)^k=P_n(-z).$$ Entonces $P_n(z)=(-a)^{n/2}H_n(-(-a)^{n/2}z).$