Prueba de que $\mathbb{P}^1$ no es afín.

Question

Estoy confundido por la última línea de la prueba de que $\mathbb{P}^1$ no es afín, como se presenta en las notas de geometría algebraica de Ravi Vakil.

Primero, calcula el anillo de las secciones globales. Resulta que$\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})=k$. Todo esto está bien. Lo que me confunde es la siguiente línea. Él dice: "Si$\mathbb{P}^1$ eran afines, entonces sería $\operatorname{Spec}\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})=\operatorname{Spec}k$, es decir, un punto. Pero no lo es, tiene mucho sentido ".

No sé qué hacer con esa oración. En la segunda igualdad, ¿no está tomando$\operatorname{Spec}$de ambos lados de la primera igualdad? Si es así, ¿qué tiene esto que ver con asumir$\mathbb{P}^1$es afín? Además, ¿por qué sabemos$\operatorname{Spec}\Gamma(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1})$debería tener "muchos puntos"? En resumen, ¿qué me estoy perdiendo aquí?

Editar: La pregunta vinculada no responde a mi pregunta. Estoy preguntando sobre una línea específica en esta prueba dada por Vakil. Las preguntas vinculadas solo preguntan por qué $\mathbb{P}^1$no es afín en general. Además, ninguna de las respuestas dadas allí aborda mi preocupación. La respuesta elegida usa la teoría de la dimensión, que claramente no es lo que Vakil tenía en mente ya que la teoría de la dimensión aún no se ha discutido

Answer 1

Esto ha surgido muchas veces en matemáticas. $\text{Spec } \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$ es la afinización de $X$; es el esquema afín universal al que$X$ mapas, entonces $X$ es afín si este mapa universal $X \to \text{Spec } \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$es un isomorfismo. Esto se deriva de las propiedades generales de los adjuntos; vea, por ejemplo, esta respuesta .

(Compárese: la abelianización $G/[G, G]$ de un grupo es el grupo abeliano universal al que $G$ mapas, por lo que un grupo es abeliano si el mapa universal $G \to G/[G, G]$ es un isomorfismo.)

Ravi calcula que la afinización de $\mathbb{P}^1$ es un punto, entonces $\mathbb{P}^1$es afín si el mapa canónico de un punto es un isomorfismo si es un punto. Pero$\mathbb{P}^1$ tiene $|L|+1$ puntos sobre cualquier extensión de campo $L$ de $k$ (Asumo $k$ es un campo de simplicidad pero se pueden decir cosas similares en general).