Dejar $n$ ser del tamaño del triángulo y $(a,b,c)$ las coordenadas baricéntricas de un hexágono dado dentro de ese triángulo, de modo que $a+b+c = n+2$. Afirmo que el tiempo medio de escape$E$ al partir de ese hexágono es $\frac {3abc} {n+2}$(1). De hecho, tenemos el sistema de ecuaciones$E(a,b,c) = 1 + \frac{E(a+1,b-1,c) + E(a,b+1,c-1) + E(a-1,b,c+1) + E(a-1,b+1,c) + E(a,b-1,c+1) + E(a+1,b,c-1)} {6}$
y es sencillo comprobar que el $E$ dada por (1) satisface estas ecuaciones y las condiciones de contorno que son $E(a,b,c) = 0$ si $a=0 \vee b=0 \vee c=0$.

Queda por promediar los puntos de partida: $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \sum_{a+b+c = 19} \frac {3abc} {19}$ La suma se puede reconocer como hasta los prefactores del coeficiente binomial $\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix}$ flexible $\langle E \rangle = \frac {2} {17\times 18} \times \frac {3} {19} \times\begin{pmatrix}21 \\ 5 \end{pmatrix} = 21$

Para tener algo de intuición sobre la fórmula. $\begin{pmatrix}N+2n \\ 2n+1 \end{pmatrix} = \sum_{i_0,\ldots,i_n \ge 1, i_0+\ldots+i_n = N+n} i_0 \cdots i_n$recuerde que el coeficiente binomial en lhs puede interpretarse como el volumen (número de balas de cañón) en una pila de balas de cañón en forma de pirámide de 2n + 1 dimensión con N balas de cañón a lo largo de cada borde. Esto se puede mostrar mediante un argumento de barras y estrellas de rutina utilizando coordenadas baricéntricas.
Fuente: dominio público de wikipedia

Dejando a un lado las sutilezas de la discretización, proyectemos el $2n+1$-simplex (que tiene $2n+2$ coordenadas baricéntricas) a la $n$-simplex (que tiene $n+1$coordenadas baricéntricas) simplemente emparejando coordenadas y sumando pares. Ahora podemos preguntar cuál es la forma y el volumen del subconjunto del símplex grande que se asigna a un solo punto en el símplex pequeño. Se puede deducir que debe ser un (hiper) cuboide, pero tal vez sea más fácil mirar una imagen:
Fuente: wikipedia CC BY-SA 4.0 Tomruen

Resaca de abeja

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