Est mon $\epsilon$- $\delta$ calcul correct?

Question

Je dois montrer que $\lim_{x \to 1} x^4-1 =0$. Voici comment je l'ai fait:$\mid x^4-1 \mid = \mid x-1 \mid\mid x+1 \mid\mid x^2+1 \mid < \epsilon \qquad$ et puisque nous sommes proches de 1, nous pouvons supposer que le $\delta$-Quartier de $c=1$ doit avoir un rayon de max $\delta =1$ ce qui implique que: $\mid x+1 \mid \le 2 \quad and \mid x^2+1 \mid \le 2 \quad \forall x \in V_{\delta}(c) \quad$
Nous choisissons maintenant $\delta=min \left \{1,\frac{\epsilon}{4}\right\} \quad$ et nous pouvons conclure que si $\mid x-1 \mid < \delta$, il s'ensuit que $\mid x^4-1 \mid = \mid x-1 \mid\mid x+1 \mid\mid x^2+1 \mid < 4\frac{\epsilon}{4} =\epsilon$. Ce calcul est-il correct? Est-ce que je rate quelque chose? Ou quelques détails?

Answer 1

Tu veux $$ |x^2+1||x+1||x-1|<\varepsilon $$ près $x=1$.

La première étape consiste à contrôler la quantité$|x^2+1||x+1|$ près $x=1$. Alors d'abord restreindre$x$ pour que $|x-1|<1=\delta_1$. Ça signifie$0<x<2$, et donc $|x+1|<3$ tandis que $x^2+1<5$. Par conséquent$$ |x-1|<1=\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |x^2+1||x+1|<15, $$ Et ainsi $$ |x-1|<1=\delta_1 \quad\Longrightarrow\quad |x^4-1|=|x^2+1||x+1||x-1|<15|x-1|, $$ Maintenant nous avons $$ |x-1|<\delta=\min\Big\{1,\frac{\varepsilon}{15}\Big\}\quad\Longrightarrow\quad |x^4-1|<15|x-1|<15\cdot\frac{\varepsilon}{15}=\varepsilon. $$

Answer 2

Allusion

Quand tu as pris $$\delta=\min(\color{red}{1},...)$$

cela signifie que vous avez supposé que $$|x-1|<\color{red}{1}$$

qui donne $$-1<x-1<1 \iff 1<x+1<3$$

Alors, ton inégalité $|x+1|<2$ devrait être remplacé par $ |x+1|<3$

et

$|x^2+1|<2 $ par $ |x^2+1|<5$.

Answer 3

Vous pouvez également exprimer $x^4-1$ en pouvoirs de $x-1$ un péché $$|x^4-1| = |((x-1)+1)^4-1| = |(x-1)^4+4(x-1)^3+6(x-1)^2+4(x-1)|.$$ Si nous supposons $|x-1| < \delta$, l'inégalité triangulaire donne $$|x^4-1| \le |x-1|^4+4|x-1|^3+6|x-1|^2+4|x-1| < \delta^4+4\delta^3+6\delta^2+4\delta.$$ Maintenant nous voulons $\delta^4+4\delta^3+6\delta^2+4\delta \le \varepsilon$. Depuis$$\delta^4+4\delta^3+6\delta^2+4\delta =\delta(\delta^3+4\delta^2+6\delta+4)$$ nous n'avons qu'à lier le deuxième facteur puisque le premier est simplement $\delta$. Si nous définissons$\delta = \min\left\{1, \frac\varepsilon{15}\right\}$, nous avons $$|x^4-1| \le \delta(\delta^3+4\delta^2+6\delta+4) \le \delta \cdot (1+4+6+4) = 15\delta \le 15\cdot \frac\varepsilon{15} = \varepsilon.$$