Système d'équations différentielles avec solutions sinus et cosinus

Question

Laisser $x_1^{'} (t) = -x_2(t), x_2^{'} (t) = x_1(t), x_3^{'} (t) = 0$.

Je dois résoudre ce système d'équations différentielles. J'ai la solution mais je ne sais pas comment y arriver. Pouvez-vous m'aider ?

Les solutions disent que comme $x_1^{"}(t) = -x_1(t)$, puis $x_1 = $A cos t + B sin t et $x_2$= A sin t - B cos t. Mon doute est de savoir comment nous pouvons avoir des solutions en termes de sin t et cos t?

Answer 1

Si les racines de l'équation caractéristique sont $r_{1, 2} = \lambda \pm \mu i$, alors la solution générale est, voir Racines complexes

$$x(t) = e^{\lambda t}( a \cos \mu t + b \sin \mu t)$$

Pour votre problème, nous avons

$$\begin{align}x_1' &= -x_2 \\ x_2' &= x_1 \\x_3' &= 0 \end{align}$$

En prenant la dérivée de la première équation, nous avons $x_1'' = -x_2'$.

En remplaçant la deuxième équation, nous avons

$$x_1'' + x_1 = 0$$

Les racines de l'équation caractéristique sont

$$r_{1, 2} = \pm i$$

D'après la note ci-dessus, la solution est

$$x_1(t) = A \cos t + B \sin t$$

De $x_2 = -x_1'$, on a

$$x_2(t) = A \sin t - B \cos t$$

De la troisième équation, nous obtenons

$$x_3(t) = C$$