Un enfant lance 7 pièces justes. Trouvez la probabilité qu'au moins deux têtes se produisent, étant donné qu'au moins trois queues se produisent.

Question

Question: Un enfant lance 7 pièces justes. Il existe des entiers positifs relativement premiers m et n de sorte que$\frac{m}{n}$est la probabilité qu'au moins deux têtes se produisent, étant donné qu'au moins trois queues se produisent. Trouvez (m + n).

D'après le langage de la question, j'ai compris qu'il s'agissait de demander la probabilité conditionnelle des événements:

1. occurrence d'au moins 2 têtes = événement A

1. Occurrence d'au moins 3 queues = événement B ie. $$P(E)=\frac{P(A and B)}{P(B)}$$

Mon approche:

Pour trouver $P(B)$, J'ai trouvé la probabilité qu'aucune queue ne se produise ($\frac{1}{2^{7}}$), une seule queue apparaît ($\frac{7}{2^{7}}$) et seulement deux queues se produisent ($\frac{\binom{7}{2}}{2^{7}}$), en les additionnant et en soustrayant de 1 j'ai obtenu,$$P(B)=1-\frac{29}{2^{7}}$$ Maintenant pour trouver $P(AandB)$ J'ai choisi 5 lancers parmi les 7 disponibles dans $\binom{7}{5}$ façons et organiser 3 queues et 2 têtes dans $\frac{5!}{2!3!}$ façons, maintenant peu importe ce qui se passe aux deux endroits restants (car la condition initiale a été satisfaite), donc sa probabilité devrait être $$\binom{7}{5}\frac{5!}{3!2!}\frac{1}{2^{5}}$$ mais cette valeur est supérieure à 1, je suis incapable de trouver l'erreur dans mes hypothèses et mes calculs, veuillez aider.

Je sais que cette question a reçu une réponse ici , mais je veux clarifier où je me suis trompé ou j'ai mal jugé.

Answer 1

Votre idée et calcul pour $\mathbb{P}(B)$sont corrects. Votre idée pour$\mathbb{P}(A \cap B)$est incorrect, car il importe quelles sont les deux autres valeurs de votre séquence. Comme @ Fawkes4494d3 vient de le souligner correctement, vous comptez les événements plusieurs fois lorsque vous le faites de cette façon. Pour une solution appropriée, pensez aux événements dans lesquels vous avez à la fois 2 têtes ou plus et 3 queues ou plus. Les seuls événements qui satisfont cette combinaison sont 3,4 ou 5 queues. Pensez donc à la façon dont vous pouvez calculer la probabilité de ces événements.